ケプラーの法則

1600年頃、ヨハネス・ケプラーは何年もかけて惑星を完全な円で動かすように努力した。 火星の観測は適合しなかった。 What he found instead are three rules that still steer every spacecraft we launch.

数字は円に合わなかった。 ケプラーは円を変えた

見て

1600年頃、ヨハネス・ケプラーはティコ・ブラーエによる火星の長年にわたる非常に正確な観測を利用して研究した。 誰もが惑星は完全な円で動いていると考えていた。 数字が合わなかった。 数年の研究の後、ケプラーは適合する三つのルールを見出した。

1. 軌道は楕円 太陽が中心から少しずれているところを 集中.
2. 惑星は太陽の近くで加速し、それから遠くでは減速する。 太陽から惑星までの直線を描画します: 同じ時間に同じ面積を掃除します。
3. より大きな軌道はずっと長くかかる。 経路が長いだけでなく 不均衡に長い

上のサンドボックスでは，ハレー彗星が読み込まれている。 太陽の周りを回って 軌道の外側を這うのを見てみろ カラースライスはすべて同じ時間で走査される：遠方の薄く長いスライス，近方の短く広いスライス。 同じ場所、同じ時間 これが第二の法則である。

理解

楕円は二つの数で記述される:

• 半長軸a：最長幅の半分。 大きさを決める
• ザ・ 偏心率eどれくらい伸びているかです 0は円であり、1に近いと非常に長く薄い。

太陽に最も近い点は 近日点 また，近日点は距離ａ（1−ｅ）である。 The farthest point is the apoapsis (aphelion), at a(1 + e).

オブジェクト	a(au) の値	あなたは
地球	1.000	0.017
火星	1.524	0.093
ハレー彗星	17.9	0.967

第三の法則 太陽を公転する全てのものに対して、周期の二乗は半長軸の三角形に比例する。 年と月：

T² = a³

木星：a = 5.20au、つまり T = 5.20^1.5 = 11.9年。 ハレー：a = 17.9auはT = 75.9年を与え、その有名な75〜76年の回帰に近い。

The sandbox shows T²/a³ in years² per au³. 太陽の周りを回る軌道を好きなだけ変更しても、1になります。

マスター

ニュートンは三つの法則を全て重力の法則から導いた。 第三の法則全文は：

T = 2π · √(a³ / μ),   μ = G(M + m)

So T²/a³ = 4π²/μ is the same for every orbit around one central body, but different for different bodies. Switch the sandbox’s central body to Earth and the constant becomes about 9.9 × 10⁻⁵ s² km⁻³ instead of 1 yr² au⁻³. The m in μ is why Kepler’s version is slightly off for Jupiter, whose mass is about 0.1% of the Sun’s.

第二の法則は角運動量保存である。 面速度はｄＡ／ｄｔ＝ｈ／2で，ここでｈは比角運動量である。 近点と遠点では速度は半径に垂直で，速度比は逆距離比に等しい。 Ｈａｌｌｅｙの場合，ｒａ／ｒｐ＝（1＋ｅ）／（1−ｅ）≈60であり，近日点では遠日点よりも約60倍速い。

与えられた時刻に物体を軌道上に置くには，平均運動ｎ＝2π／Ｔの平均異常Ｍ＝ｎ（ｔ−ｔｐ）とＫｅｐｌｅｒ方程式Ｍ＝Ｅ−ｅｓｉｎＥが必要である。 閉形式の解はない。このサイトのツールはニュートン反復法で解き，ハレーのe = 0.967に対しても数ステップで収束する。