Prawa Keplera

Około 1600 roku Johannes Kepler spędził lata próbując sprawić, by planety poruszały się w idealnych kręgach. Obserwacje Marsa nie pasowały. Zamiast tego odkrył trzy zasady, które nadal kierują każdym statkiem kosmicznym, który wystrzelimy.

Liczby nie chciały pasować do kręgów. Więc Kepler zmienił okręgi.

Spójrz.

Około 1600 roku Johannes Kepler pracował z wieloletnimi bardzo precyzyjnymi obserwacjami Marsa dokonanymi przez Tycho Brahe. Wszyscy zakładali, że planety poruszają się w idealnych kręgach. Liczby nie pasowały. Po latach pracy Kepler znalazł trzy reguły, które pasują.

1. Orbity są elipsami (rozciągnięte koła), ze Słońcem nieco poza centrum w punkcie zwanym Focus.
2. Planeta przyspiesza w pobliżu Słońca i zwalnia z dala od niego. Narysuj linię od Słońca do planety: zamiata równe obszary w równych okresach czasu.
3. Większe orbity trwają znacznie dłużej. Nie tylko dłużej, ponieważ ścieżka jest dłuższa, ale nieproporcjonalnie dłużej.

W powyższej piaskownicy załadowana jest kometa Halleya. Obserwuj, jak krąży wokół Słońca, a następnie przeczołga się przez zewnętrzną część swojej orbity. Kolorowe plastry są przesuwane w tym samym czasie: cienkie i długie daleko, krótkie i szerokie blisko. Ten sam obszar, ten sam czas. To jest drugie prawo w działaniu.

Rozumiem.

Elipsa jest opisana przez dwie liczby:

• Oś półwiększa a: połowa najdłuższej szerokości. Ustawia rozmiar.
• The ekscentryczność e: jak rozciągnięty jest. 0 jest okręgiem; blisko 1 jest bardzo długie i cienkie.

Najbliższy punkt do Słońca jest Peryskop (perihelium dla Słońca), w odległości a(1 − e). Najdalszy punkt to Apoapsis (aphelion), w a(1 + e).

Obiekt	a	e
Ziemia	1.000	0.017
Mars	1.524	0.093
Kometa Halleya	17.9	0.967

Trzecie prawo. Dla wszystkiego, co krąży wokół Słońca, kwadrat okresu jest proporcjonalny do sześcianu półosi wielkiej. W latach i au:

T² = a³

Jowisz: a = 5,20 au, więc T = 5,20^1,5 = 11,9 lat. Halley: a = 17,9 au daje T = 75,9 lat, blisko słynnego powrotu w ciągu 75 do 76 lat.

Piaskownica pokazuje T²/a³ w latach² na au³. Zmień orbitę wokół Słońca tak bardzo, jak chcesz: pozostaje 1.

Master

Newton wyprowadził wszystkie trzy prawa z jego prawa grawitacji. Trzecie prawo w pełnej formie brzmi:

T = 2π · √(a³ / μ),   μ = G(M + m)

Zatem T²/a³ = 4π²/μ jest taki sam dla każdej orbity wokół jednego ciała centralnego, ale różny dla różnych ciał. Przesuń centralne ciało piaskownicy na Ziemię, a stała stanie się około 9.9 × 10⁻⁵ s² km⁻³ zamiast 1 yr² au⁻³. M w μ jest powodem, dla którego wersja Keplera jest nieco nieprawidłowa dla Jowisza, którego masa wynosi około 0,1% masy Słońca.

Drugie prawo to zachowanie pędu kątowego. Prędkość powierzchniowa wynosi dA/dt = h/2, gdzie h = r²·dν/dt jest pędem właściwym, stałym dla każdej siły centralnej. W perycentrum i apocentrum prędkość jest prostopadła do promienia, więc r_p·v_p = r_a·v_a: stosunek prędkości jest równy odwrotnemu stosunkowi odległości. Dla Halleya r_a/r_p = (1 + e)/(1 − e) ≈ 60, więc porusza się około 60 razy szybciej w peryhelium niż w aphelium.

Aby umieścić ciało na orbicie w danym czasie potrzebujemy anomalii średniej M = n(t − t_p), przy ruchu średnim n = 2π/T, a następnie równania Keplera, M = E − e sin E. Nie ma rozwiązania w formie zamkniętej; narzędzia na tej stronie rozwiązują go przez iterację Newtona, która zbiega się w kilku krokach nawet dla e Halleya = 0.967.