Kepler'in yasaları

1600’lerin başında Johannes Kepler, yıllarca gezegenleri mükemmel dairesel harekete geçirmeye çalıştı. Mars’ın gözlemleri uyum sağlamayacak şekildeydi. Onun yerine bulduğu şey, hâlâ fırlattığımız her uzay gemisini yönlendiren üç kural.

Sayılar çemberlere uymayı reddetti. Bu yüzden Kepler daireleri değiştirdi.

Bak.

1600’lerin başında Johannes Kepler, Tycho Brahe tarafından Mars hakkında yapılan yıllarca çok kesin gözlemlerle çalıştı. Herkes gezegenlerin mükemmel dairesel hareket ettiğini varsayıyordu. Sayılar uyum sağlamıyordu. Yıllarca çalışmadan sonra, Kepler üç kuralı buldu ki bunlar uygundu.

1. Yörüngeler elipslerdir Güneş’in biraz merkezden uzaklaşmış olduğu bir noktada, odak.
2. Bir gezegen Güneş’ e yakın hızlanır ve ondan uzakta yavaşlar. Güneş’ ten gezegene doğru bir çizgi çizin: eşit zamanlarda eşit alanları süpürür.
3. Büyük yörüngeler çok daha uzun sürer. Sadece yol daha uzun olduğu için değil, orantısız şekilde daha uzundur.

Yukarıdaki kum kutusunda, Halley’in Kuyruklu Yıldızı yüklenmiş. Güneş etrafında dönmesini ve sonra yörüngesinin dış kısmından aşağıya doğru sürünmesini izleyin. Renkli parçaların hepsi aynı sürede süzülür: ince ve uzun uzakta, kısa ve geniş yakında. Aynı bölge, aynı zaman. Bu ikinci yasanın etkin olduğu yer.

Anladım.

Bir elips iki sayı ile tanımlanır:

• yarı büyük eksen a: en uzun genişliğin yarısı. Boyutu belirler.
• eksen dışı e: ne kadar uzatılmış olduğu. 0 bir çemberdir; 1’e yakın çok uzun ve incedir.

Güneş’e en yakın nokta, a(1 − e) uzaklıktaki periapsis (Güneş için perihelion) noktasıdır. En uzak nokta apoapsis (aphelion), a(1 + e) noktasındadır.

Nesne	a	ve
Dünya	1.000	0.017
Mars	1.524	0.093
Halley Kuyruklu Yıldızı	17.9	0.967

Üçüncü yasa. Güneş etrafında yörüngede olan her şey için, periyot karesi yarı büyük eksenin küpü ile orantılıdır. Yıllar ve yıllık:

T² = a³

Jüpiter: a = 5.20 av, bu yüzden T = 5.20^1.5 = 11.9 yıl. Halley: a = 17.9 au, T = 75.9 yıl verir, ünlü 75-76 yıllık geri dönüşüne yakındır.

Kum kutusu T²/a³’ü au³ başına yıl² olarak gösterir. Güneş etrafındaki yörüngeyi istediğiniz kadar değiştirin: 1 olarak kalır.

Efendim.

Newton, üç yasayı da yerçekimi kanunundan çıkardı. Üçüncü yasa tam olarak şöyledir:

T = 2π · √(a³ / μ),   μ = G(M + m)

Yani T²/a³ = 4π²/μ, bir merkez cisim etrafındaki her yörünge için aynıdır, ancak farklı cisimler için farklıdır. Kum kutusunun merkezi vücudunu Dünya’ya çevirin ve sabit 1 yıl² au⁻³ yerine yaklaşık olarak 9.9 × 10⁻⁵ s² km⁻³ olur. μ’deki m, kütlesi Güneş’in yaklaşık %0.1’i olan Jüpiter için Kepler’in versiyonunun biraz sapma olmasının nedenidir.

İkinci yasa açısal momentum korunumudur. Alanı hızı dA/dt = h/2, burada h = r²·dν/dt herhangi bir merkez kuvvet için sabit olan özgül açısal momentumdur. Periapsis ve apoapsis noktalarında hız yarıçapı dik olarakdır, bu yüzden r_p·v_p = r_a·v_a: hız oranı ters uzaklık oranı ile eşittir. Halley için r_a/r_p = (1 + e)/(1 − e) ≈ 60, yani perihelion’da aphelion’dan yaklaşık olarak 60 kat daha hızlı hareket eder.

Bir cisim yörüngesine belirli bir zamanda yerleştirmek için ortalama anomali M = n(t − t_p), ortalama hareket n = 2π/T ve sonra Kepler denklemi, M = E − e sin E’ye ihtiyacınız vardır. Kapalı biçimde çözümü yoktur; bu sitedeki araçlar, Halley’nin e = 0.967 için bile birkaç adımla yakınsak olan Newton tekrarlaması ile çözer.