Keplerin lait

Noin 1600, Johannes Kepler vietti vuosia yrittäen saada planeetat liikkumaan täydellisissä ympyröissä. Marsin havainnot eivät sopineet. Sen sijaan hän löysi kolme sääntöä, jotka ohjaavat yhä kaikkia avaruusaluksiamme.

Numerot eivät sopineet ympyröihin. Joten Kepler muutti ympyröitä.

Katso.

Noin vuonna 1600 Johannes Kepler työskenteli vuosien ajan Tycho Brahen tekemien erittäin tarkkojen Mars-havaintojen kanssa. Kaikki olettivat planeettojen liikkuvan täydellisissä ympyröissä. Numerot eivät sopineet. Vuosien työn jälkeen Kepler löysi kolme sääntöä, jotka sopivat.

1. Radat ovat ellipsejä (venytetyt ympyrät), jossa Aurinko on hieman pois keskeltä pisteessä, jota kutsutaan keskittyminen.
2. Planeetta kiihdyttää lähellä Aurinkoa ja hidastaa kaukana siitä. Piirrä suora Auringosta planeetalle: se pyyhkäisee yhtä suuret alueet yhtä pitkään.
3. Isommat kiertoradat kestävät paljon kauemmin. Ei vain pidempään, koska polku on pidempi, vaan suhteettoman kauan.

Yllä olevassa hiekkalaatikossa Halleyn komeetta on ladattu. Katso, miten se pyörii Aurinkoa ympäri ja sitten ryömii kiertoradansa uloimman osan läpi. Värilliset viipaleet pyyhkäistään kaikki samalla ajalla: ohut ja pitkä kaukana, lyhyt ja leveä lähellä. Sama alue, samaan aikaan. Tämä on toinen laki toiminnassa.

Ymmärrän.

Ellipsin kuvaa kaksi lukua:

• • Mitä? puolisuurakseli a: puolet pisimmästä leveydestä. Se asettaa koon.
• • Mitä? eksentrisyys e: kuinka venytetty se on. 0 on ympyrä; lähellä 1 on hyvin pitkä ja ohut.

Lähin piste Aurinkoa on periapsis (Aurinko periheliossa), etäisyydellä a(1 − e). Kaukaisin piste on apoapsis (aphelion), joka sijaitsee kohdassa a(1 + e).

Kohde	a (au)	e
Maa	1.000	0.017
Maaliskuu	1.524	0.093
Halleyn komeetta	17.9	0.967

Kolmas laki. Kaikkien Aurinkoa kiertävien kappaleiden jakson neliö on verrannollinen puolisuurakseliin, ja siten myös niiden kiertoaika. Vuosina ja au:

T² = a³

Jupiter: a = 5,20 AU, joten T = 5,20^1,5 = 11,9 vuotta. Halley: a = 17,9 au antaa T = 75,9 vuotta, lähellä sen kuuluisaa 75-76 vuoden palautumista.

Hiekkalaatikko näyttää T²/a³ vuosina² per au³. Muuta kiertorataa Aurinkoa ympäri niin paljon kuin haluat: se pysyy 1.

Mestari.

Newton johti kaikki kolme lakia hänen painovoiman laista. Kolmas laki on täydellisessä muodossaan:

T = 2π · √(a³ / μ),   μ = G(M + m)

Joten T²/a³ = 4π²/μ on sama kaikille kiertoradoille yhden keskeisen kappaleen ympäri, mutta erilainen eri kappaleille. Jos hiekkalaatikon keskiosa siirretään Maahan, vakio muuttuu noin 9,9 × 10⁻⁵ s² km⁻³:ksi 1 yr² au⁻³:n sijaan. Keplerin versio on hieman väärin Jupiterin kohdalla, jonka massa on noin 0,1 % Auringon massasta.

Toinen laki on kulmaliikemäärän säilyminen. Alueenopeus on dA/dt = h/2, jossa h = r²·dν/dt on ominaisliikemäärä, joka pysyy vakiona kaikille keskusvoimilta. Periapsis- ja apoapsispisteissä nopeus on kohtisuorassa säteen kanssa, joten r_p·v_p = r_a·v_a: nopeussuhde on yhtä suuri kuin etäisyyssuhteen käänteisluku. Halleyn kohdalla r_a/r_p = (1 + e)/(1 − e) ≈ 60, joten se liikkuu periheliossa noin 60 kertaa nopeammin kuin apheliossa.

Jotta kappale saataisiin kiertoradalleen tiettynä ajankohtana, tarvitaan keskimääräinen poikkeama M = n(t − t_p), jossa keskimääräinen liike n = 2π/T, ja sitten Keplerin yhtälö M = E − e sin E. Tällä ei ole suljettua ratkaisua; tämän sivuston työkalut ratkaisevat sen Newtonin iteraatiolla, joka lähentyy muutamassa vaiheessa jopa Halleyn e = 0.967:lle.