قوانین کپلر

در حدود سال 1600 میلادی، یوهانس کپلر سال‌ها تلاش کرد تا سیاره‌ها را به حرکت دایره‌ای کامل وادار کند. اما رصدهای مریخ با این فرضیات سازگار نبود. اون در عوض سه تا قانون پيدا کرد که هنوز هم هر فضاپيمايي رو که پرتاب ميکنيم هدايت ميکنه

تعدادها از جور کردن دایره ها امتناع کردند پس کپلر دایره ها رو عوض کرد

ببين

در حدود سال 1600، یوهانس کپلر با مشاهدات بسیار دقیقی که طی سال‌ها توسط تیخو براهه انجام شده بود کار کرد. همه فرض ميکردن که سياره ها دارن دايره اي کامل ميچرخن اما تعدادی از آن‌ها قبول نکردند. پس از سال‌ها کار، کپلر سه قانون را یافت که با هم سازگارند.

1. مدارها بیضوی هستند با خورشید که کمی از مرکز دور شده در نقطه ای به نام تمرکز.
2. یک سیاره در نزدیکی خورشید شتاب می‌گیرد و در فاصله دورتر از آن آهسته می‌شود. یک خط از خورشید به سیاره بکشید: این خط در زمان‌های برابر، مناطق مساوی را پاک می‌کند.
3. مدارهای بزرگتر زمان بیشتری می‌گیرند. نه فقط به خاطر اینکه مسیر طولانی تر است، بلکه غیر متناسب طولانی تر.

در این جعبه دنباله‌دار هالی بارگذاری شده است. ببینید که دور خورشید می‌چرخد و بعد از قسمت بیرونی مدارش عبور می‌کند. در این روش، تمام نوارهای رنگی در مدت زمان یکسانی پاک می‌شوند: باریک و بلند دورتر، کوتاه و پهن نزدیک‌تر. همون منطقه، همون زمان این قانون دوم در عمل است.

بفهم

یک بیضوی با دو عدد توصیف می‌شود:

• . اون نیم‌محور بزرگ a: نصف پهنای بلندترین. اندازه رو مشخص ميکنه
• excentricity e: چقدر کشیده است. 0 یک دایره است؛ نزدیک به 1 بسیار طولانی و نازک است.

نزدیکترین نقطه به خورشید، نقطهٔ افق است. دورترین نقطه (حضیض خورشیدی برای خورشید)، در فاصله a(1 − e). دورترین نقطه آپواپسیس (آفلیون) است که در a(1 + e) قرار دارد.

شیء	یک	و
زمین	1.000	0.017
مارس	1.524	0.093
دنباله‌دار هالی	17.9	0.967

قانون سوم برای هر چیزی که به دور خورشید می‌چرخد، مربع دوره متناسب با مکعب نیم‌محور بزرگ است. در سالها و :

T² = a³

مشتری: a = 5.20 AU، بنابراین T = 5.20^1.5 = 11.9 سال. هالی: a = 17.9 au به T = 75.9 سال می‌دهد، نزدیک به بازگشت مشهور آن از 75 تا 76-سال.

The sandbox shows T²/a³ in years² per au³. مدار آن را به دور خورشید تا جایی که می‌خواهید تغییر دهید: 1 باقی می‌ماند.

استاد

نیوتن همهٔ سه قانون را از قانون گرانش خود استخراج کرد. قانون سوم به صورت کامل اينه:

T = 2π · √(a³ / μ),   μ = G(M + m)

بنابراین T²/a³ = 4π²/μ برای هر مدار به دور یک جسم مرکزی یکسان است، اما برای اجسام مختلف متفاوت است. اگر جسم مرکزی جعبه شن را به زمین تبدیل کنیم، ثابت در حدود 9.9 × 10⁻⁵ s² km⁻³ به جای 1 yr² au⁻³ خواهد بود. این m در μ دلیل آن است که نسخه کپلر کمی برای مشتری اشتباه است، که جرم آن حدود 0.1٪ جرم خورشید است.

قانون دوم، حفظ تکانه زاویه‌ای است. سرعت سطحی dA/dt = h/2 است که در آن h = r²·dν/dt تکانه زاویه‌ای خاص است، ثابت برای هر نیروی مرکزی. در حضیض و افقی سرعت عمودي بر شعاع است، بنابراین r_p·v_p = r_a·v_a: نسبت سرعت برابر با معکوس نسبت فاصله است. برای هالی r_a/r_p = (1 + e)/(1 − e) ≈ 60، بنابراین در حضیض خورشیدی حدود 60 برابر سریع‌تر از آفلاین حرکت می‌کند.

برای قرار دادن یک جسم در مدار خود در زمان معینی به انحراف متوسط M = n(t − t_p) با حرکت متوسط n = 2π/T و سپس معادله کپلر، M = E − e sin E نیاز دارید. هيچ راه حل بسته اي نداره ابزارهای این سایت آن را با تکرار نیوتن حل می‌کنند، که در چند گام همگرا می‌شود حتی برای e = 0.967 هالی.