گرانش نیوتنی

نیرویی که یک سیب را به زمین می‌کشد همان نیرویی است که ماه را در مدار خود نگه می‌دارد و سیاره‌ها را به دور خورشید می‌چرخاند. ایده بزرگ آیزاک نیوتن این بود که یک قانون همه چیز را توضیح می‌دهد. در این حالت باید به توپ شلیک کنید و آن را از بین ببرید.

ماه همواره به سمت زمین در حال سقوط است. فقط گم ميشه

ببين

توپ رو بنداز و مي افته اگر به طرف دیگر پرتابش کنی، باز هم می‌افتد اما از این فاصله بیشتر فرود می‌آید. آیزاک نیوتن یک سوال ساده پرسید: اگر شما آن را با سرعتی بسیار زیاد پرتاب کنید چه؟

تصور کنيد يه توپ رو سر يه کوه غير ممکن بالا، بالاتر از هوا توپ را به آرامی شلیک کنید و آن خمیده شده و به زمین می‌خورد. زودتر شلیک کن و اون از تو دورتر فرود میاد چون زمین گرد است، زمین از زیر توپ خم می‌شود. در سرعت مناسب، زمین دقیقاً به همان سرعتی که توپ می‌افتد خم می‌شود. توپ داره مي افته اما هيچوقت فرود نمياد اين در مدار.

با توپ بالاي سر امتحان کن آروم شروع کن، بعد سريع تر برو:

• خیلی کند: به عقب می‌افتد (قرمز).
• فقط درست: تمام مسیر را می‌رود (سبز).
• بسیار سریعتر: فرار می‌کند و هرگز برنمی‌گردد (زرد).

همچنین این فضاپیماها دارای قابلیت پرواز در ارتفاع بالا هستند. اونا از جاذبه فراتر نيستن اونا و فضاپيماشون دارن با هم به دور زمين مي چرخن

بفهم

قانون گرانش جهاني نيوتن ميگه هر جرمي، جرم ديگه اي رو ميکشه:

F = G · M · m / r²

• F نیرو، M و m دو جرم، r فاصله بین مرکز آن‌ها است.
• G ثابت گرانش است: 6.674 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻².

دو تا ايده توش هست:

1. چيزهاي سنگين تر سخت تر مي کشن جرم دو برابر، نيرو دو برابر
2. فاصله ضعيفش ميکنه فاصله دو برابر ميشه و نيرو به يک چهارم کاهش پيدا ميکنه اين قانون مربع معکوس.

در نزدیکی یک سیاره، شتاب هر چیزی که می‌افتد برابر است با g = GM / r². برای زمین که در حدود 9.8 m/s² را در سطح می‌دهد. در ارتفاع ایستگاه فضایی بین‌المللی (حدود 420 کیلومتر)، r تنها 7٪ بزرگتر است، بنابراین گرانش هنوز حدود 88٪ قوی تر است.

براي مدار دايره اي، جاذبه بايد دقيقا کشش مورد نياز رو فراهم کنه تا مسیر رو بچرخونه:

v_circular = √(GM / r)

در سطح زمین این مقدار حدود 7.9 کیلومتر بر ثانیه است. سرعت این گلوله‌ها از یک گلوله تفنگ حدود 28000 کیلومتر در ساعت است.

استاد

در عمل ما تقریباً هیچگاه از G و M به صورت جداگانه استفاده نمی‌کنیم. حاصل ضرب اونها μ = GM، پارامتر جاذبه, بطور مستقیم و خیلی دقیق تر از حرکت ماه ها و فضاپیماها اندازه گیری می شود. برای زمین، μ = 398,600.4355 km³ s⁻²، که به چند جزء در میلیارد می‌رسد، در حالی که خود G تنها به حدود 22 قسمت در میلیون شناخته شده‌است (CODATA 2018). جرم زمین که در جدول‌ها ذکر شده‌است، در واقع μ تقسیم بر G است و عدم قطعیت G را به ارث می‌برد.

ابزار توپ حرکت را دقیقاً برای مسئله دو جسم حل می‌کند. A horizontal launch from radius r₀ with speed v gives angular momentum h = r₀v and a conic orbit:

r(ν) = p / (1 + e cos ν),   p = h² / μ,   e = |p / r₀ − 1|

که در آن ν زاويه از حضيض است. اگر v کمتر از سرعت دایره‌ای باشد، نقطهٔ پرتاب نقطهٔ اوج است و مسیر به سمت داخل می‌رود؛ اگر این مسیر نیز پایین‌تر از سطح زمین باشد، توپ به زمین برخورد می‌کند. در √(μ/r₀) مدار یک دایره است (e = 0). در √(2μ/r₀) به یک پرابلم تبدیل می‌شود (e=1) و توپ فرار می‌کند.

قانون نیوتن همچنین توضیح می‌دهد که چرا کوه ابزار به شکلی مضحک کشیده شده‌است: در واقع هوا سرعت هر توپ را خیلی قبل از سرعت مدار کاهش می‌دهد، و این دلیل آن است که موشک‌ها بیشتر از جو بالا می‌روند تا شتاب جانبی بگیرند.