Гравітація Ньютона

Сила, яка притягує яблуко до землі, є тією ж силою, що утримує Місяць на його орбіті і планети навколо Сонця. Великий Ісаак Ньютон мав ідею, що один закон пояснює їх всі. Тут ти будеш стріляти з його гармати і дізнаєшся чому.

Місяць постійно падає на Землю. Просто все время пропадает.

Дивіться.

Поклади м’яч, і він впаде. Кидай його в бік, і він все одно падає, але приземляється далі. Ісаак Ньютон задав просте питання: а що, якщо ви кинете його справді швидко?

Уявіть собі гармату на вершині неможливо високої гори, над повітрям. Повільно стріляйте в кулю, і вона згинається вниз і вдаряється об землю. Стріляй швидше, і він приземлиться далі. Оскільки Земля кругла, земля викривляється під м’ячем. На правильної швидкості, земля відхиляєсь так само швидко, як і м’яч падає. М’яч продовжує падати, але ніколи не приземляється. Він на орбіті.

Спробуй з гарматою нагорі. Починайте повільно, а потім швидше:

• Занадто повільно: відступ (червоний).
• Всього лише правий: він обертається навколо своєї осі (зелений).
• Набагато швидше: він тікає і більше не повертається (жовтий).

Це також причина, чому астронавти плавають. Вони не поза гравітацією. Вони і їхні кораблі, падають навколо Землі разом.

Розумію

Закон Ньютона про всесвітнє тяжіння каже, що кожна маса притягує кожну іншу масу:

F = G · M · m / r²

• F - сила, M і m - дві маси, r - відстань між їх центрами.
• G є гравітаційною сталою: 6.674 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻².

У ній містяться дві ідеї:

1. Важніша річ тягне сильніше. Подвійна маса, подвійна сила.
2. Відстань швидко його ослаблює. Подвоюєш відстань, і сила зменшується на чверть. Це закон обернених квадратів.

Біля планети, прискорення чого-небудь, що падає, є g = GM / r². Для Землі це дає приблизно 9,8 м/с² на поверхні. На висоті Міжнародної космічної станції (близько 420 км), r є лише на 7% більшим, тому гравітація все ще близько 88% сильна.

Для кругової орбіти гравітація повинна забезпечувати саме те притягання, яке потрібно для того, щоб рухатися по траєкторії:

v_ круговий = √( GM / r)

Непосередньо над поверхнею Землі це приблизно 7,9 км/с. Швидше, ніж куля з гвинтівки: приблизно 28000 км/год.

Майстер

На практиці ми майже ніколи не використовуємо G і M окремо. Їх добуток μ = GM, гравітаційний параметр, вимірюється безпосередньо і набагато точніше з руху супутників і космічних апаратів. Для Землі μ = 398,600.4355 км³ с⁻², відома до декількох частин на мільярд, в той час як сама G відома тільки до приблизно 22 частин на мільйон (CODATA 2018). Маса Землі, наведена в таблицях, насправді μ поділена на G, і вона успадковує невизначеність G.

Інструмент « гармата » розв’ язує рух точно для задачі з двома тілами. Горизонтальний запуск з радіусу r₀ зі швидкістю v дає кутовий імпульс h = r₀v і конічну орбіту:

r( ν) = p / (1 + e cos ν),   p = h² / μ,   e = |p / r₀ − 1|

де ν — кут від перигелію. Якщо v менше швидкості обертання, то точка запуску є апоазисом і траєкторія рухається всередину; якщо вона також рухається нижче поверхні, м’ яч вдаряється об землю. При √(μ/r₀) орбіта є колом (e = 0). При √(2μ/r₀) вона стає параболою (e = 1) і м’яч втікає.

Закон Ньютона також пояснює, чому гори інструменту намальовані так абсурдно високо: насправді повітря сповільнить будь-яку гарматну кулю задовго до орбітальної швидкості, саме тому ракети піднімаються над більшою частиною атмосфери перед прискоренням в бік.