De zwaartekracht van Newton

De kracht die een appel naar de grond trekt is dezelfde kracht die de maan in zijn baan en de planeten rond de zon houdt. Het grote idee van Isaac Newton was dat één wet ze allemaal verklaart. Hier zul je zijn kanon afvuren en ontdekken waarom.

De maan valt de hele tijd naar de aarde toe. Het blijft gewoon ontbreken.

Kijk.

Laat een bal vallen en het valt. Gooi het opzij en het valt nog steeds, maar het landt verder weg. Isaac Newton stelde een simpele vraag: wat als je het heel snel gooide?

Stel je een kanon voor bovenop een onmogelijk hoge berg, boven de lucht. Als je een kanonskogel langzaam afvuurt, buigt deze naar beneden en raakt de grond. Als je sneller afvuurt, landt het verder weg. Omdat de aarde rond is, kromt de grond weg onder de bal. Met precies de juiste snelheid buigt de grond net zo snel weg als de bal valt. De bal blijft maar vallen, maar nooit landt. Het is in een baan.

Probeer het met het kanon hierboven. Begin langzaam, ga dan sneller:

• Te langzaam: het valt terug (rood).
• Precies goed: het gaat helemaal rond (groen).
• Veel sneller: het ontsnapt en komt nooit meer terug (geel).

Dit is ook de reden waarom astronauten zweven. Ze zijn niet buiten de zwaartekracht. Zij en hun ruimtevaartuigen vallen samen rond de aarde.

Begrijp je?

Newtons wet van de universele zwaartekracht zegt dat elke massa aan elke andere massa trekt:

F = G · M · m / r²

• F is de kracht, M en m zijn de twee massa’s, r is de afstand tussen hun centra.
• G is de zwaartekrachtconstante: 6,674 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻².

Twee ideeën zitten erin verpakt:

1. Zwaardere dingen trekken harder. Verdubbel de massa, verdubbel de kracht.
2. Afstand verzwakt het snel. Verdubbel de afstand en de kracht daalt tot een kwart. Dat is de omgekeerde-kwadraatwet.

In de buurt van een planeet is de versnelling van alles wat valt g = GM / r². Voor de aarde geeft dat ongeveer 9,8 m/s² aan het oppervlak. Op de hoogte van het International Space Station (ongeveer 420 km) is r slechts 7% groter, dus de zwaartekracht is nog steeds ongeveer 88% zo sterk.

Voor een cirkelvormige baan moet de zwaartekracht precies de trekkracht leveren die nodig is om het pad te blijven draaien:

v_circular = √(GM / r)

Net boven het aardoppervlak is dit ongeveer 7,9 km/s. Sneller dan een geweerkogel: ongeveer 28.000 km/u.

Meester

In de praktijk gebruiken we G en M bijna nooit apart. Hun product μ = GM, de zwaartekrachtparameter, wordt direct en veel nauwkeuriger gemeten uit de beweging van manen en ruimtevaartuigen. Voor de Aarde is μ = 398.600,4355 km³ s⁻², bekend tot op een paar delen per miljard, terwijl G zelf slechts bekend is tot ongeveer 22 delen per miljoen (CODATA 2018). De massa van de Aarde die in tabellen wordt vermeld is eigenlijk μ gedeeld door G, en erft de onzekerheid van G.

Het kanon-gereedschap lost de beweging exact op voor een tweelichamenprobleem. Een horizontale lancering vanuit straal r₀ met snelheid v geeft impulsmoment h = r₀v en een conische baan:

r(ν) = p / (1 + e cos ν),   p = h² / μ,   e = |p / r₀ − 1|

Waar ν de hoek vanaf de periapsis is. Als v lager is dan de cirkelsnelheid, is het lanceerpunt de apoapsis en zakt het pad naar binnen; als het ook onder het oppervlak zakt, raakt de bal de grond. Bij √(μ/r₀) is de baan een cirkel (e = 0). Bij √(2μ/r₀) wordt het een parabool (e = 1) en ontsnapt de bal.

De wet van Newton verklaart ook waarom de berg van het gereedschap zo absurd hoog is getekend: in werkelijkheid zou de lucht elke kanonskogel vertragen voordat deze de baan om de aarde bereikt, wat de reden is dat raketten boven het grootste deel van de atmosfeer uitstijgen voordat ze zijwaarts versnellen.