De wetten van Kepler

Rond 1600 probeerde Johannes Kepler jarenlang de planeten in perfecte cirkels te laten bewegen. De waarnemingen van Mars weigerden te passen. Wat hij in plaats daarvan vond, zijn drie regels die nog steeds elk ruimtevaartuig sturen dat we lanceren.

De getallen weigerden in de cirkels te passen. Dus Kepler veranderde de cirkels.

Kijk.

Rond 1600 werkte Johannes Kepler met jaren van zeer nauwkeurige waarnemingen van Mars door Tycho Brahe. Iedereen dacht dat planeten in perfecte cirkels bewogen. De nummers weigerden te passen. Na jarenlang werken vond Kepler drie regels die wel passen.

1. Banen zijn ellipsen (uitgerekte cirkels), met de Zon een beetje buiten het centrum op een punt dat een focus wordt genoemd.
2. Een planeet versnelt in de buurt van de zon en vertraagt ver weg ervan. Teken een lijn van de zon naar de planeet: deze veegt gelijke gebieden uit in gelijke tijden.
3. Grotere banen duren veel langer. Niet langer omdat het pad langer is, maar onevenredig langer.

In de zandbak hierboven is Halley’s Comet geladen. Zie hoe hij rond de Zon zweeft en vervolgens door het buitenste deel van zijn baan kruipt. De gekleurde plakjes worden allemaal in dezelfde tijd weggeveegd: dun en lang ver weg, kort en breed dichtbij. Hetzelfde gebied, hetzelfde tijdstip. Dat is de tweede wet in actie.

Begrijp je?

Een ellips wordt beschreven door twee getallen:

• De halve grote as a: de helft van de langste breedte. Het bepaalt de grootte.
• De excentriciteit e: hoe uitgerekt het is. 0 is een cirkel; bijna 1 is erg lang en dun.

Het dichtstbijzijnde punt aan de Zon is de periapsis (perihelium voor de Zon), op afstand a(1 − e). Het verste punt is het apoapsis (aphelium), op a(1 + e).

Object	a (au)	en
Aarde	1.000	0.017
Mars	1.524	0.093
De komeet van Halley	17.9	0.967

Derde wet. Voor alles dat om de Zon draait, is het kwadraat van de periode evenredig aan de kubus van de halve grote as. In jaren en au:

T² = a³

Jupiter: a = 5,20 au, dus T = 5,20^1,5 = 11,9 jaar. Halley: a = 17,9 au geeft T = 75,9 jaar, dicht bij zijn beroemde 75 tot 76-jaar terugkeer.

De sandbox toont T²/a³ in jaren² per au³. Verander de baan om de Zon zoveel als je wilt: het blijft 1.

Meester

Newton leidde alle drie de wetten af van zijn zwaartekrachtwet. De derde wet in zijn volledige vorm is:

T = 2π · √(a³ / μ),   μ = G(M + m)

Dus T²/a³ = 4π²/μ is hetzelfde voor elke baan rond een centraal lichaam, maar verschillend voor verschillende lichamen. Als het centrale lichaam van de zandbak naar de Aarde wordt verplaatst, dan wordt de constante ongeveer 9,9 × 10⁻⁵ s² km⁻³ in plaats van 1 yr² au⁻³. De m in μ is de reden waarom Keplers versie iets afwijkt voor Jupiter, wiens massa ongeveer 0,1% van die van de zon is.

De tweede wet is de behoudswet van het impulsmoment. De oppervlaktesnelheid is dA/dt = h/2, waarbij h = r²·dν/dt het specifieke impulsmoment is, constant voor elke centrale kracht. Bij periapsis en apoapsis is de snelheid loodrecht op de straal, dus r_p·v_p = r_a·v_a: de snelheidsverhouding is gelijk aan de inverse afstandsverhouding. Voor Halley is r_a/r_p = (1 + e)/(1 − e) ≈ 60, dus hij beweegt ongeveer 60 keer sneller bij het perihelium dan bij het aphelium.

Om een lichaam op een gegeven moment in zijn baan te plaatsen heb je de gemiddelde anomalie M = n(t − t_p), met een gemiddelde beweging n = 2π/T, en dan de vergelijking van Kepler, M = E − e sin E. Het heeft geen gesloten oplossing; de tools op deze site lossen het op door Newton iteratie, die in een paar stappen convergeert zelfs voor Halley’s e = 0.967.