Las leyes de Kepler

Alrededor de 1600, Johannes Kepler pasó años tratando de hacer que los planetas se movieran en círculos perfectos. Las observaciones de Marte se negaron a encajar. Lo que encontró en su lugar son tres reglas que todavía guían cada nave espacial que lanzamos.

Los números se negaron a encajar en los círculos. Así que Kepler cambió los círculos.

Mira.

Alrededor de 1600, Johannes Kepler trabajó con años de observaciones muy precisas de Marte hechas por Tycho Brahe. Todo el mundo suponía que los planetas se movían en círculos perfectos. Los números se negaron a encajar. Después de años de trabajo, Kepler encontró tres reglas que sí encajan.

1. Las órbitas son elipses (círculos estirados), con el Sol un poco descentrado en un punto llamado enfoque.
2. Un planeta se acelera cerca del Sol y se desacelera lejos de él. Dibuja una línea desde el Sol hasta el planeta: barre áreas iguales en tiempos iguales.
3. Las órbitas más grandes tardan mucho más. No solo porque el camino es más largo, sino desproporcionadamente más largo.

En la caja de arena de arriba, el cometa de Halley está cargado. Observa cómo gira alrededor del Sol y luego se arrastra por la parte exterior de su órbita. Las rebanadas de colores son barridas en el mismo tiempo: delgadas y largas lejos, cortas y anchas cerca. Mismo área, mismo tiempo. Esa es la segunda ley en acción.

Entender

Una elipse es descrita por dos números:

• El semieje mayor a: la mitad del ancho más largo. Establece el tamaño.
• La excentricidad e: qué tan estirada está. 0 es un círculo; cerca de 1 es muy largo y delgado.

El punto más cercano al Sol es el periapsis (perihelio del Sol), a la distancia a(1 − e). El punto más lejano es el apoapsis (afelio), en a(1 + e).

Objeto	a (au)	e
Tierra	1.000	0.017
Mars	1.524	0.093
El cometa de Halley	17.9	0.967

La tercera ley. Para todo lo que orbita el Sol, el cuadrado del período es proporcional al cubo del semieje mayor. En años y au:

T² = a³

Júpiter: a = 5.20 au, por lo que T = 5.20^1.5 = 11.9 años. Halley: a = 17.9 au da T = 75.9 años, cerca de su famoso retorno de 75 a 76 años.

El sandbox muestra T²/a³ en años² por au³. Cambia la órbita alrededor del Sol tanto como quieras: se queda 1.

Master

Newton derivó las tres leyes de su ley de la gravedad. La tercera ley en su forma completa es:

T = 2π · √(a³ / μ),   μ = G(M + m)

Así que T²/a³ = 4π²/μ es la misma para cada órbita alrededor de un cuerpo central, pero diferente para diferentes cuerpos. Cambie el cuerpo central de la caja de arena a la Tierra y la constante se convierte en aproximadamente 9,9 × 10⁻⁵ s² km⁻³ en lugar de 1 año² au⁻³. La m en μ es por qué la versión de Kepler está ligeramente fuera para Júpiter, cuya masa es aproximadamente el 0.1% de la del Sol.

La segunda ley es la conservación del momento angular. La velocidad areal es dA/dt = h/2, donde h = r²·dν/dt es el momento angular específico, constante para cualquier fuerza central. En periapsis y apoapsis la velocidad es perpendicular al radio, por lo que r_p·v_p = r_a·v_a: la relación de velocidad es igual a la inversa de la relación de distancia. Para Halley, r_a/r_p = (1 + e)/(1 − e) ≈ 60, por lo que se mueve unas 60 veces más rápido en el perihelio que en el afelio.

Para colocar un cuerpo en su órbita en un momento dado se necesita la anomalía media M = n(t − t_p), con movimiento medio n = 2π/T, y luego la ecuación de Kepler, M = E − e sin E. No tiene solución de forma cerrada; las herramientas en este sitio lo resuelven por iteración newtoniana, que converge en pocos pasos incluso para e = 0.967 de Halley.