Le leggi di Keplero

Intorno al 1600, Johannes Keplero ha trascorso anni a cercare di far muovere i pianeti in cerchi perfetti. Le osservazioni di Marte si rifiutarono di adattarsi. Quello che ha trovato invece sono tre regole che ancora guidano ogni navicella spaziale che lanciamo.

I numeri si rifiutavano di entrare nei cerchi. Così Keplero cambiò i cerchi.

Guarda.

Intorno al 1600, Johannes Keplero lavorò con anni di osservazioni molto precise di Marte fatte da Tycho Brahe. Tutti ipotizzavano che i pianeti si muovessero in cerchi perfetti. I numeri si rifiutavano di adattarsi. Dopo anni di lavoro, Keplero ha trovato tre regole che si adattano.

1. Le orbite sono ellissi (cerchi allungati), con il Sole un po’ fuori centro in un punto chiamato Focus.
2. Un pianeta accelera vicino al Sole e rallenta lontano da esso. Traccia una linea dal Sole al pianeta: spazza via aree uguali in tempi uguali.
3. Le orbite più grandi richiedono molto più tempo. Non solo perché il percorso è più lungo, ma sproporzionatamente più lungo.

Nella sandbox sopra, la cometa di Halley è caricata. Osservala mentre gira intorno al Sole e poi striscia attraverso la parte esterna della sua orbita. Le fette colorate vengono tutte spazzate nello stesso tempo: sottili e lunghe lontano, corte e larghe vicino. Stessa zona, stesso tempo. Questa è la seconda legge in azione.

Capisci?

Un’ellisse è descritta da due numeri:

• Il semiasse maggiore a: metà della larghezza più lunga. Imposta la dimensione.
• L’eccentricità e: quanto è allungata. 0 è un cerchio; vicino a 1 è molto lungo e sottile.

Il punto più vicino al Sole è il periapsis (perielio per il Sole), alla distanza a(1 − e). Il punto più lontano è il apoapsis (afelio), a a(1 + e).

Oggetto	a (au)	e
Terra	1.000	0.017
Marzo	1.524	0.093
La cometa di Halley	17.9	0.967

Terza legge. Per tutto ciò che orbita attorno al Sole, il quadrato del periodo è proporzionale al cubo del semiasse maggiore. In anni e au:

T² = a³

Giove: a = 5.20 au, quindi T = 5.20^1.5 = 11.9 anni. Halley: a = 17,9 au dà T = 75,9 anni, vicino al suo famoso ritorno di 75-76 anni.

La sandbox mostra T²/a³ in anni² per au³. Cambia l’orbita intorno al Sole quanto vuoi: rimane 1.

Maestro.

Newton derivò tutte e tre le leggi dalla sua legge di gravità. La terza legge nella sua forma completa è:

T = 2π · √(a³ / μ),   μ = G(M + m)

Quindi T²/a³ = 4π²/μ è la stessa per ogni orbita attorno a un corpo centrale, ma diversa per corpi diversi. Trasferire il corpo centrale della sandbox sulla Terra e la costante diventa circa 9,9 × 10⁻⁵ s² km⁻³ invece di 1 yr² au⁻³. La m in μ è il motivo per cui la versione di Keplero è leggermente sbagliata per Giove, la cui massa è circa lo 0,1% di quella del Sole.

La seconda legge è la conservazione del momento angolare. La velocità areale è dA/dt = h/2, dove h = r²·dν/dt è il momento angolare specifico, costante per qualsiasi forza centrale. Al periapsis e all’apoapsis la velocità è perpendicolare al raggio, quindi r_p·v_p = r_a·v_a: il rapporto di velocità è uguale al rapporto inverso della distanza. Per Halley, r_a/r_p = (1 + e)/(1 − e) ≈ 60, quindi si muove circa 60 volte più velocemente al perielio che all’afelio.

Per posizionare un corpo sulla sua orbita in un dato momento è necessaria l’anomalia media M = n(t − t_p), con moto medio n = 2π/T, e quindi l’equazione di Keplero, M = E − e sin E. Non ha una soluzione di forma chiusa; gli strumenti su questo sito la risolvono per iterazione newtoniana, che converge in pochi passi anche per e = 0.967 di Halley.