كېپلېر قانۇنلىرى

1600-يىلى، جوھاننىس كېپلېر يۇلتۇزلارنىڭ مۇكەممەل داۋراڭدا ئايلىنىشىنى كۆرسىتىپ بېرىش ئۈچۈن كۆپ يىللىق تەتقىقات ئېلىپ باردى. مارتىننىڭ پىكرىگە قارشى چىقىپ، ئۇنى قوبۇل قىلمىدى. ئۇنىڭ ئورنىغا ئۇ تاپقان نەرسە بىز ھەر قانداق ئايروپىلاننى قوزغاتقاندا ساقلىنىدىغان ئۈچ قانۇن.

بەزىلەر بۇنى چەكلەشكە ئۇرۇنۇشتى. شۇڭا كېپلېر دۈمبەلەرنى ئۆزگەرتتى.

كۆرۈڭ

1600-يىلى، يوھاننىس كېپلېر تىكھو براھې تەرىپىدىن ئېلىپ بېرىلغان مارسنىڭ ناھايىتى توغرا كۆزىتىشلىرى بىلەن ئىشلىگەن. ھەممە ئادەم بۇنى بىر خىل پىسخىكىلىق ھالەت دەپ قارايدۇ. نەتىجىدە، سانلار تەڭ بولماي قالدى. After years of work, Kepler found three rules that do fit.

1. ئۇرپەتلەر ئېلىپس (يېڭىلاپ كەتكەن دۈمبە)، كۈننىڭ ئوقۇم دەپ ئاتىلىدىغان بىر نۇقتىدا ئازراق مەركىزىدىن ئايرىلغان.
2. بىر يۇلتۇز كۈنگە يېقىنلاشقاندا تېزلىشىدۇ، لېكىن ئۇنىڭدىن يىراقلاشقاندا ئاستىلىيدۇ. كۈندىن يۇلتۇزغا بىر سۈرەتنى سىزىڭ: ئۇ تەڭ ۋاقىت ئىچىدە ئوخشاش رايونلارنى ئايلىنىپ چىقىدۇ.
3. ئۇچۇر يولى ئۇزۇن بولغانلىقتىن، چوڭقۇرلۇقى كۆپرەك بولغان ئوربىتلار تېخىمۇ ئۇزۇن ۋاقىتنى ئالىدۇ.

يۇقىرىقى ساندكاستتا، ھالى كومىتىتى قوزغىلىدۇ. كۈننىڭ ئەتراپىدا ئايلىنىشى، ئۇنىڭ ئۆز يولىنى ئۆزى تۇتۇپ تۇرىدىغانلىقىنى كۆرسىتىدۇ. ھەممە ئادەمنىڭ ئۆزىگە خاس بىر خىل ئۇسۇلى بار، شۇڭا ھەر قانداق ئىشنى قىلىدىغاندا، ھەرقانداق ۋاقىتتا، ھەرقانداق جايدا، ھەرقانداق ئەھۋالدا، ھەرقانداق ۋاقىتتا، ھەرقانداق ئورۇندا، ھەرقانداق ھالەتتە، ھەرقانداق شەكىلدە قىلىشقا بولىدۇ. ئوخشاش جايدا، ئوخشاش ۋاقىت. بۇ ئىككىنچى قانۇن.

چۈشەن

ئىككى خىل تىپتىكى ۋىروسلار بار.

• semi-major axis a: ئەڭ ئۇزۇن ئېگىزلىكنىڭ يېرىمىغا تەڭ. It sets the size.
• e نىڭ ئېكسىنتىرېتسى: ئۇ قانچىلىك كەڭ. 0 بىر چۆرىدىگەن، 1 غا يېقىن بولسا ناھايىتى ئۇزۇن ۋە قېلىن.

كۈننىڭ ئەڭ يېقىن يېرى periapsis (كۈننىڭ ئەڭ يىراق جايى) بولۇپ، ئۇ a(1 − e) يىراقلىقتا بولىدۇ. The farthest point is the apoapsis (aphelion), at a(1 + e).

نەرسە	بىر	سىزىقچە
يەرشارى	1.000	0.017
مارت	1.524	0.093
ھالېينىڭ قۇياشى	17.9	0.967

ئۈچىنچى قانۇن. كۈننىڭ ھەر بىر پىرسەنتى ئۆزىنىڭ ئېلېكتىرونلۇق ھالىتىدە بولۇپ، بۇ ئېلېكتىرونلۇق ھالەت بىلەن كۈننىڭ ھەر بىر پىرسەنتى ئۆزىنىڭ ئېلېكتىرونلۇق ھالىتىگە ئوخشاش بولىدۇ. يىللار ۋە ئايلار:

T² = a³

Jupiter: a = 5.20 au, so T = 5.20^1.5 = 11.9 years. Halley: a = 17.9 au gives T = 75.9 years, close to its famous 75 to 76-year return.

The sandbox shows T²/a³ in years² per au³. كۈننىڭ ئەتراپىدىكى ئوربىتىنى خالىغانچە ئۆزگەرتىڭ: ئۇ 1 بولۇپ قالىدۇ.

باشلىغۇچى

نىيۇتوننىڭ ئۈچ قانۇنى ئۇنىڭ نىسپىيلىك قانۇنىدىن كېلىپ چىققان. ئۈچىنچى قانۇن:

T = 2π · √(a³ / μ)،   μ = G(M + m)

4-بابتا ھەر بىر دۆلەتنىڭ ئۆزىگە خاس بولغان قانۇنلىرى، قانۇن ئىجرا قىلىش ئورگانلىرى ۋە قانۇنغا خىلاپ قىلمىشلار ھەققىدە توختىلىپ ئۆتۈلگەن. Switch the sandbox’s central body to Earth and the constant becomes about 9.9 × 10⁻⁵ s² km⁻³ instead of 1 yr² au⁻³. The m in μ is why Kepler’s version is slightly off for Jupiter, whose mass is about 0.1% of the Sun’s.

ئىككىنچى قانۇن، ئېغىرلىق كۈچىنىڭ ساقلىنىش قانۇنى. The areal velocity is dA/dt = h/2, where h = r²·dν/dt is the specific angular momentum, constant for any central force. At periapsis and apoapsis the velocity is perpendicular to the radius, so r_p·v_p = r_a·v_a: the speed ratio equals the inverse distance ratio. For Halley, r_a/r_p = (1 + e)/(1 − e) ≈ 60, so it moves about 60 times faster at perihelion than at aphelion.

To place a body on its orbit at a given time you need the mean anomaly M = n(t − t_p), with mean motion n = 2π/T, and then Kepler’s equation, M = E − e sin E. It has no closed-form solution; the tools on this site solve it by Newton iteration, which converges in a few steps even for Halley’s e = 0.967.