Οι νόμοι του Κέπλερ

Γύρω στο 1600, ο Γιοχάνες Κέπλερ πέρασε χρόνια προσπαθώντας να κάνει τους πλανήτες να κινούνται σε τέλειους κύκλους. Οι παρατηρήσεις του Άρη αρνήθηκαν να ταιριάξουν. Αυτό που βρήκε αντ’ αυτού είναι τρεις κανόνες που εξακολουθούν να διέπουν κάθε διαστημόπλοιο που εκτοξεύουμε.

Οι αριθμοί αρνήθηκαν να χωρέσουν στους κύκλους. Έτσι ο Κέπλερ άλλαξε τους κύκλους.

Κοίτα.

Γύρω στο 1600, ο Γιοχάνες Κέπλερ εργάστηκε με χρόνια πολύ ακριβών παρατηρήσεων του Άρη που έγιναν από τον Τύχο Μπράχε. Όλοι υπέθεταν ότι οι πλανήτες κινούνται σε τέλειες τροχιές. Οι αριθμοί αρνήθηκαν να χωρέσουν. Μετά από χρόνια εργασίας, ο Κέπλερ βρήκε τρεις κανόνες που ταιριάζουν.

1. Οι τροχιές είναι ελλείψεις (τεντωμένοι κύκλοι), με τον Ήλιο λίγο εκτός κέντρου σε ένα σημείο που λέγεται εστία.
2. Ένας πλανήτης επιταχύνεται κοντά στον Ήλιο και επιβραδύνεται μακριά από αυτόν. Σχεδιάστε μια γραμμή από τον Ήλιο στον πλανήτη: σαρώνει ίσες περιοχές σε ίσους χρόνους.
3. Οι μεγαλύτερες τροχιές χρειάζονται πολύ περισσότερο χρόνο. Όχι μόνο επειδή η διαδρομή είναι μεγαλύτερη, αλλά δυσανάλογα μεγαλύτερη.

Στο παραπάνω αμμοδοχείο, ο κομήτης του Χάλεϋ είναι φορτωμένος. Δείτε τον να περιστρέφεται γύρω από τον Ήλιο και μετά να σέρνεται στο εξωτερικό τμήμα της τροχιάς του. Οι χρωματιστές φέτες σαρώνονται όλες στον ίδιο χρόνο: λεπτές και μακριές μακριά, μικρές και πλατιές κοντά. Ίδια περιοχή, την ίδια στιγμή. Αυτός είναι ο δεύτερος νόμος σε δράση.

Καταλάβετε

Μια έλλειψη περιγράφεται από δύο αριθμούς:

• Ο ημιμεγάλος άξονας α: το ήμισυ του μεγαλύτερου πλάτους. Ορίζει το μέγεθος.
• Η εκκεντρότητα e: πόσο τεντωμένο είναι. Το 0 είναι ένας κύκλος, κοντά στο 1 είναι πολύ μακρύς και λεπτός.

Το κοντινότερο σημείο στον Ήλιο είναι το περιάψις (περήλιο για τον Ήλιο), σε απόσταση α(1 − ε). Το μακρινότερο σημείο είναι το απόαψις (αφέλιο), στο α(1 + ε).

Αντικείμενο	α	και
Γη	1.000	0.017
Μάιος	1.524	0.093
Ο κομήτης του Χάλεϋ	17.9	0.967

Τρίτος νόμος. Για οτιδήποτε περιφέρεται γύρω από τον Ήλιο, το τετράγωνο της περιόδου είναι ανάλογο με τον κύβο του ημιμεγάλου άξονα. Σε έτη και ώρες:

T² = a³

Δίας: a = 5,20 AU, άρα T = 5,20^1,5 = 11,9 έτη. Η απόσταση του Χάλλεϋ: a = 17,9 AU δίνει T = 75,9 χρόνια, κοντά στην περίφημη επιστροφή του κάθε 75 με 76 χρόνια.

Το πεδίο αμμοχάλικου δείχνει T²/a³ σε χρόνια² ανά au³. Αλλάξτε την τροχιά γύρω από τον Ήλιο όσο θέλετε: παραμένει 1.

Κύριε.

Ο Νεύτωνας απέδειξε και τους τρεις νόμους από το νόμο της βαρύτητας. Ο τρίτος νόμος στην πλήρη μορφή του είναι:

T = 2π · √(a³ / μ),   μ = G(M + m)

Έτσι T²/a³ = 4π²/μ είναι το ίδιο για κάθε τροχιά γύρω από ένα κεντρικό σώμα, αλλά διαφορετικό για διαφορετικά σώματα. Αν μετακινήσουμε το κεντρικό σώμα του sandbox στη Γη, η σταθερά γίνεται περίπου 9.9 × 10⁻⁵ s² km⁻³ αντί για 1 yr² au⁻³. Το m στο μ είναι ο λόγος που η έκδοση του Κέπλερ είναι ελαφρώς λάθος για τον Δία, του οποίου η μάζα είναι περίπου 0,1% της ηλιακής.

Ο δεύτερος νόμος είναι η διατήρηση της γωνιακής ορμής. Η επιφανειακή ταχύτητα είναι dA/dt = h/2, όπου h = r²·dν/dt είναι η ειδική ορμή, σταθερή για οποιαδήποτε κεντρική δύναμη. Στην περιάψι και την απόαψι η ταχύτητα είναι κάθετη στην ακτίνα, έτσι r_p·v_p = r_a·v_a: ο λόγος της ταχύτητας ισούται με τον αντίστροφο λόγο της απόστασης. Για τον Χάλλεϋ, r_a/r_p = (1 + e)/(1 − e) ≈ 60, έτσι κινείται περίπου 60 φορές ταχύτερα στο περιήλιο από ότι στο άφηλιο.

Για να τοποθετηθεί ένα σώμα στην τροχιά του σε μια δεδομένη στιγμή χρειάζεστε τη μέση ανωμαλία M = n(t − t_p), με μέση κίνηση n = 2π/T, και στη συνέχεια την εξίσωση του Κέπλερ, M = E − e sin E. Δεν έχει λύση κλειστής μορφής, τα εργαλεία σε αυτή την ιστοσελίδα το επιλύουν με επανάληψη του Νεύτωνα, η οποία συγκλίνει σε λίγα βήματα ακόμη και για το e = 0.967 του Χάλεϋ.