Keplers lover

Rundt 1600 brukte Johannes Kepler år på å prøve å få planetene til å bevege seg i perfekte sirkler. Observasjonene av Mars nektet å passe. Det han fant i stedet er tre regler som fortsatt styrer alle romfartøy vi skyter opp.

Tallene nektet å passe inn i sirkler. Så Kepler endret sirkler.

Se.

Rundt 1600 arbeidet Johannes Kepler med årevis med svært presise observasjoner av Mars gjort av Tycho Brahe. Alle antok at planetene beveget seg i perfekte sirkler. Tallene nektet å passe. Etter mange års arbeid fant Kepler tre regler som passer.

1. Baner er ellipser (strakt sirkler), med solen litt off-senter på et punkt kalt en fokus.
2. En planet øker farten nær solen og reduserer farten langt unna den. Tegn en linje fra solen til planeten: Den feier ut like store områder på like lange tider.
3. Større baner tar mye lenger tid. Ikke bare lenger fordi veien er lengre, men uforholdsmessig lengre.

I sandkassen ovenfor er Halleys komet lastet inn. Se den piske rundt Solen og deretter krype gjennom den ytre delen av banen. De fargede skivene blir alle feid på samme tid: tynne og lange langt borte, korte og brede nært inne. Samme område, samme tid. Det er den andre loven i aksjon.

Forstår

En ellipse beskrives av to tall:

• Den halve store aksen: halvparten av den lengste bredden. Det setter størrelsen.
• The eksentrisitet e: hvor strakt den er. 0 er en sirkel; nær 1 er veldig lang og tynn.

Det nærmeste punktet til solen er periapsis (perihelium for solen), i avstand a(1 − e). Det lengste punktet er apoapsis (aphelium), ved a( 1 + e).

Objekt	a (au)	og
Jorden	1.000	0.017
Mars	1.524	0.093
Halleys komet	17.9	0.967

Tredje lov. For alt som går i bane rundt solen, er kvadratet av perioden proporsjonalt med kuben til halvstoreaksen. I år og au:

T² = a³

Jupiter: a = 5,20 AU, så T = 5,20^1,5 = 11,9 år. Halley: a = 17,9 au gir T = 75,9 år, nær dens berømte 75 til 76-års tilbakekomst.

Sandkassen viser T²/a³ i år² per au³. Endre banen rundt Sola så mye du vil: den forblir 1.

Master

Newton utledet alle tre lovene fra sin tyngdelov. Den tredje loven i sin fulle form er:

T = 2π · √( a³ / μ),   μ = G( M + m)

Så T²/a³ = 4π²/μ er den samme for alle baner rundt et sentrallegeme, men forskjellig for forskjellige legemer. Bytt sandkassen til jorden og konstanten blir omtrent 9,9 × 10⁻⁵ s² km⁻³ i stedet for 1 yr² au⁻³. M i μ er grunnen til at Keplers versjon er litt feil for Jupiter, som har en masse på omtrent 0,1 % av solens.

Den andre loven er bevaring av bevegelsesmengde. Arealhastigheten er dA/dt = h/2, hvor h = r²·dν/dt er det spesifikke bevegelsesmomentet, konstant for enhver sentralkraft. Ved periapsis og apoapsis er hastigheten vinkelrett på radien, så r_p·v_p = r_a·v_a: hastighetsforholdet tilsvarer det inverse avstandsforholdet. For Halley er r_a/r_p = (1 + e)/(1 − e) ≈ 60, så den beveger seg omtrent 60 ganger raskere ved perihelium enn ved aphelium.

For å plassere et legeme i bane på et gitt tidspunkt trenger man den gjennomsnittlige anomalien M = n(t − t_p), med gjennomsnittlig bevegelse n = 2π/T, og deretter Keplers ligning, M = E − e sin E. Den har ingen lukket formløsning; verktøyene på dette nettstedet løser den ved Newton-iterasjon, som konvergerer i noen få trinn selv for Halleys e = 0,967.