开普勒定律

约翰内斯·开普勒在1600年左右花了好几年的时间来试图让行星以完美的圆形运动。 火星的观测拒绝适合。 相反,他发现了三条规则,这些规则仍然指导着我们发射的每一艘航天器。

数字拒绝适合的圈子。 所以开普勒改变了圆圈。

看

约翰内斯·开普勒在1600年左右,利用第谷·布拉赫对火星进行的多年非常精确的观测。 每个人都假设行星以完美的圆形运动。 数字拒绝适合。 经过多年的工作,开普勒发现了三个规则是合适的。

1. 轨道是椭圆形的 (拉伸的圆 ) , 太阳在被称为焦点的地方稍微偏离中心。
2. 一个行星在靠近太阳的时候加速,而离开太阳的时候减速。 从太阳到行星画一条直线:它在相同的时间内扫过相等的面积。
3. 更大的轨道需要更长的时间。 不仅是因为路径更长,而且不成比例地更长。

在上面的沙盒中,加载了哈雷彗星。 观看它围绕太阳旋转,然后爬过其轨道的外部部分。 所有彩色片段都在相同的时间内被扫描:远处的薄片和长片,近处的短片和宽片。 同一地区,同一时间。 这是第二个法则在行动。

理解

椭圆由两个数字描述:

• 半长轴a:最长宽度的一半。 它设置了大小。
• 偏心率e:它是如何拉伸的。 0是一个圆;接近1是非常长和薄。

最靠近太阳的点是近日点(太阳的近日点 ) , 在距离a(1 − e)处。 最远的点是远地点(近地点 ) , 在a(1 + e)处。

对象	a(或)	e/ 已确定。
地球	1.000	0.017
火星	1.524	0.093
哈雷彗星	17.9	0.967

第三定律 对于任何绕太阳公转的物体,其周期的平方与半长轴的立方成正比。 年份和月份：

T² = a³ 平方英尺

木星:a = 5.20天文单位,因此T = 5.20^1.5 = 11.9年。 哈雷:a = 17.9 AU给出T = 75.9年,接近其著名的75至76年回归。

沙盒显示T²/a³(年²每au³ ) 。 改变绕太阳的轨道,只要你喜欢:它仍然是1。

硕士

牛顿从他的万有引力定律中得出了所有三个定律。 第三定律的完整形式是:

T = 2π·√(a³/μ)，μ = G(M + m)

因此T²/a³ = 4π²/μ对于围绕一个中心天体的每个轨道都是相同的,但对于不同的天体是不同的。 将沙盒的中心物体转移到地球上,常数就变成9.9 × 10⁻⁵ s² km⁻³而不是1年² au⁻³。 木星的质量是太阳的0.1 % , 所以开普勒的版本对木星略有偏差。

第二定律是角动量守恒。 面速度为dA/dt = h/2,其中h = r²·dν/dt是比角动量,对于任何中心力都是恒定的。 在近点和远点,速度与半径垂直,所以r_p·v_p = r_a·v_a:速度比等于反向距离比。 对于哈雷,r_a/r_p = (1 + e)/(1 − e)≈60,因此它在近日点的移动速度比远日点快约60倍。

要在给定的时间将一个天体放置在其轨道上,你需要平均异常值 M = n(t − t_p ) , 平均运动量 n = 2π/T,然后开普勒方程 M = E − e sin E。 它没有封闭形式的解;这个网站上的工具通过牛顿迭代来解决它,即使对于哈雷的e = 0.967也能在几个步骤中收敛。