Keplerove zákony pohybu

Okolo roku 1600 Johannes Kepler strávil roky snažiac sa, aby sa planéty pohybovali v dokonalých kruhoch. Pozorovania Marsu sa odmietli hodiť. Namiesto toho našiel tri pravidlá, ktoré stále riadia každú vesmírnu loď, ktorú vypustíme.

Čísla sa odmietli zmestiť do kruhov. Takže Kepler zmenil kruhy.

Pozri.

Okolo roku 1600 Johannes Kepler pracoval s rokmi veľmi presných pozorovaní Marsu, ktoré urobil Tycho Brahe. Každý predpokladal, že planéty sa pohybujú v dokonalých kruhoch. Čísla sa odmietli zmestiť. Po rokoch práce, Kepler našiel tri pravidlá, ktoré sa hodia.

1. Obežné dráhy sú elipsy (natiahnuté kruhy), so Slnkom trochu mimo stredu v bode nazývanom zameranie.
2. Planéta sa zrýchľuje v blízkosti Slnka a spomaľuje ďaleko od neho. Nakreslite priamku od Slnka k planéte: za rovnaký čas vymetá rovnakú plochu.
3. Väčšie obežnice trvajú oveľa dlhšie. Nielen dlhšie, pretože cesta je dlhšia, ale neúmerne dlhšia.

V pieskovisku hore je načítaná Halleyho kométa. Pozrite sa, ako obieha okolo Slnka a potom prechádza vonkajšou časťou svojej obežnej dráhy. Farebné plátky sa všetky zametajú za rovnaký čas: tenké a dlhé ďaleko, krátke a široké blízko. Rovnaká oblasť, rovnaký čas. To je druhý zákon v akcii.

Pochopte to.

Elipsa je popísaná dvoma číslami:

• Veľká poloos a: polovica najdlhšej šírky. Nastavuje veľkosť.
• Excentricita e: ako je natiahnutá. 0 je kruh; blízko 1 je veľmi dlhý a tenký.

Najbližší bod k Slnku je periapsis (perihélium pre Slnko), vo vzdialenosti a(1 − e). Najvzdialenejší bod je apoapsida (aphelion), na a(1 + e).

Objekt	a (au)	e
Zem	1.000	0.017
Mars	1.524	0.093
Halleyho kométa	17.9	0.967

Tretí zákon. Pre všetky telesá obiehajúce okolo Slnka je druhá mocnina periódy úmerná kocke veľkej polosi. V rokoch a au:

T² = a³

Jupiter: a = 5,20 AU, takže T = 5,20^1,5 = 11,9 rokov. Halley: a = 17,9 au dáva T = 75,9 rokov, blízko k jeho slávnemu návratu 75 až 76 rokov.

Sandbox zobrazuje T²/a³ v rokoch² na au³. Zmeňte obežnú dráhu okolo Slnka, ako sa vám páči: zostáva 1.

Majster

Newton odvodil všetky tri zákony z jeho gravitačného zákona. Tretí zákon v plnej forme je:

T = 2π · √(a³ / μ),   μ = G(M + m)

T²/a³ = 4π²/μ je teda rovnaký pre každú obežnú dráhu okolo centrálneho telesa, ale odlišný pre rôzne telesá. Ak sa centrálne teleso pieskoviska presunie na Zem, konštanta sa zmení z 1 yr² au⁻³ na približne 9,9 × 10⁻⁵ s² km⁻³. Keplerova verzia je mierne nesprávna pre Jupiter, ktorého hmotnosť je približne 0,1 % hmotnosti Slnka.

Druhým zákonom je zachovanie hybnosti. Rýchlosť je daná vzťahom dA/dt = h/2, kde h = r²·dν/dt je špecifická hybnosť, konštantná pre každú centrálnu silu. V periapse a apoapse je rýchlosť kolmá na polomer, takže r_p·v_p = r_a·v_a: pomer rýchlosti sa rovná inverznému pomeru vzdialenosti. Pre Halleyho kométu platí r_a/r_p = (1 + e)/(1 − e) ≈ 60, takže sa pohybuje približne 60-krát rýchlejšie v perihéliu ako v aféliu.

Na umiestnenie telesa na jeho obežnú dráhu v danom čase potrebujeme strednú anomáliu M = n(t − t_p), so stredným pohybom n = 2π/T, a potom Keplerovu rovnicu, M = E − e sin E. Nemá uzavreté riešenie; nástroje na tejto stránke ho riešia Newtonovou iteráciou, ktorá konverguje v niekoľkých krokoch aj pre Halleyovo e = 0,967.