Kepleriň kanunlary

1600-nji ýylda, Johannes Kepler ýyllarça planetalary doly daşarky çyzyklarda herekete getirmäge synanyşan. Mars Ol tapdy üç düzgünler, hakykatdanam, biz her bir kosmos gämisini dolandyrmak üçin.

Rakamlar dairelere girmediler. Şonuň üçin Kepler daşarky daşary üýtgetdi.

Görkez

1600-nji ýylda, Johannes Kepler Tycho Brahe tarapyndan Marsyň ýyllar boýy edilen gaty dogry synaglary bilen işledi. Her kim planetleriň doly dairelerde hereket edýändigini kabul edýärdi. Rakamlar gabat gelmedi. Ýyllarça işlenenden soň, Kepler üç düzgüni tapdy.

1. Orbits are elipses (stretched circles), with the Sun a little off center at a point called a focus.
2. Bir planeta güneşiň golaýynda tizleşip ondan uzakda yavaşlaýar. Günden planeta çenli bir çyzygy çek: ol deň wagtlarda deň meýdançalary süpürýär.
3. Büyük orbitler has uzak wagt alýar. Diňe ýol uzagy sebäpli däl, eýsem proporsionally uzagy.

Üstdäki çüýşede, Halley’s Comet ýüklenildi. Günüň etrabynda aýlanyp, soňra orbitasynyň daşarky böleginden geçip gidýänine seret. Renkli bölekler hemmesi bir wagtyň içinde süzülür: inçe we uzak uzak, gysga we giň ýakyn. Aynı alan, aynı zaman. Bu ikinji kanuny hereketdedir.

Anla

Bir ellips iki rakam bilen beýan edilýär:

• a orta-uly eksersi: iň uzak giňlikden yary. Bu ululygy belleýär.
• e eksentriklik: ol näçe uzaldylan. 0 bir dairedir; 1e golaý bolsa gaty uzak we inçedir.

Güne iň ýakyn nokta periapsis (gün üçin perihelion), uzaklykda a(1 − e). A(1 + e)da uzaklyk apoapsis (aphelion)

Objet	a	e
Ýer	1.000	0.017
Mars	1.524	0.093
Halley’s Comet	17.9	0.967

Üçüncü kanun. Güneş etrabında dolanan her şey için, periyodun karesi yarım-büyük ekseninin küpüne proporsiyoneldir. Ýyllar we aýlar:

T² = a³

Jupiter: a = 5.20 au, so T = 5.20^1.5 = 11.9 years Halley: a = 17.9 au gives T = 75.9 years, close to its famous 75 to 76-year return.

Bu sandbox T²/a³ in years² per au³ görkezýär. Günüň etrabyndaky orbitany islänçä üýtget: ol 1 galýar.

_Ýönetmek

Newton üç kanuny öz gravitasiýa kanunyndan alyp çykdy. Üçünji kanun:

T = 2π · √(a³ / μ),   μ = G(M + m)

Şonuň üçin T²/a³ = 4π²/μ bir merkezi beden dolanyşygynyň her orbitasy üçin deňdir, ýöne dürli bedenler üçin tapawutlanýar. Switch the sandbox’s central body to Earth and the constant becomes about 9.9 × 10⁻⁵ s² km⁻³ instead of 1 yr² au⁻³. Kepleriň versiýasynyň Jupiter üçin biraz çydamsyzdygy sebäpli μ-da m, onuň kütlesi Günüňkiden 0.1% azdyr.

Ikinji kanun agyrlyk momentiniň saklanmagydyr. Areal tizligi dA/dt = h/2, bu ýerde h = r²·dν/dt belli bir burçly momentum, her bir merkezi güýç üçin durnukly. Periapsis we apoapsisde tizlik radiusa dikdir, şuňa görä r_p·v_p = r_a·v_a: tizlik nisbi uzaklyk nisbine deňdir. Halley üçin, r_a/r_p = (1 + e) /(1 − e) ≈ 60, şuňa görä ol perihelionda apheliondan 60 esse çalt hereket edýär.

Bir nesli öz orbitasyna berlen wagta goýmak üçin ortaça anomaliýa M = n(t − t_p), ortaça hereket n = 2π/T, we soňra Kepler’s deňleşik, M = E − e sin E gerek. Buň ýapylyp durýan çözgüdi ýok; şu saýtdaky esbaplar ony Newton iterasiýasy bilen çözer, bu Halley’s e = 0.967 üçin hem birnäçe ädimde birleşýär.