Lleis de Kepler

Al voltant de 1600, Johannes Kepler va passar anys intentant fer que els planetes es movessin en cercles perfectes. Les observacions de Mart es van negar a encaixar. El que va trobar en canvi són tres regles que encara guien cada nau espacial que llancem.

Els números es negaven a encaixar als cercles. Així que Kepler va canviar els cercles.

Mira

Al voltant de 1600, Johannes Kepler va treballar amb anys d’observacions molt precises de Mart fetes per Tycho Brahe. Tothom assumia que els planetes es movien en cercles perfectes. Els números no encaixaven. Després d’anys de treball, Kepler va trobar tres regles que encaixaven.

1. Les òrbites són el· lipses (cercles estirats), amb el Sol una mica fora del centre en un punt anomenat focus.
2. Un planeta s’ accelera prop del Sol i es desaccelera lluny d’ ell. Dibuixeu una línia des del Sol fins al planeta: escombrarà àrees iguals en temps iguals.
3. Les òrbites més grans triguen molt més. No només més perquè el camí és més llarg, sinó desproporcionadament més llarg.

A la caixa de sorra superior, el cometa d’ Halley està carregat. Observeu-lo girar al voltant del Sol i després arrastrar-se per la part exterior de la seva òrbita. Les llesques de color són escombrades en el mateix temps: primes i llargues lluny, curtes i amples a prop. La mateixa zona, el mateix temps. Aquesta és la segona llei en acció.

Entesos

Una el· lipse es descriu amb dos nombres:

• El semi-eix major a: la meitat de l’amplada més llarga. Estableix la mida.
• El excentricitat e: com s’ estira. 0 és un cercle; prop d’1 és molt llarg i prim.

El punt més proper al Sol és el periàpsis (periheli del Sol), a la distància a(1 − e). El punt més llunyà és el apoapsis (afeli), a a( 1 + e).

Objecte	a (au)	i
Terra	1.000	0.017
Març	1.524	0.093
Cometa d’ Halley	17.9	0.967

Tercera llei. Per a tot el que orbita al voltant del Sol, el quadrat del període és proporcional al cub de l’ semieix major. En anys i au:

T² = a³

Júpiter: a = 5,20 ua, per tant T = 5,20^1,5 = 11,9 anys. Halley: a = 17,9 au dóna T = 75,9 anys, proper al seu famós retorn de 75 a 76 anys.

La caixa de sorra mostra T²/a³ en anys² per au³. Canvia l’ òrbita al voltant del Sol tant com vulguis: es manté a 1.

Mestre

Newton va derivar les tres lleis de la seva llei de la gravetat. La tercera llei en la seva forma completa és:

T = 2π · √( a³ / μ),   μ = G( M + m)

Així T²/a³ = 4π²/μ és el mateix per a cada òrbita al voltant d’un cos central, però diferent per a diferents cossos. Canvieu el cos central de la caixa de sorra a la Terra i la constant esdevé d’uns 9,9 × 10⁻⁵ s² km⁻³ en lloc d’1 any² au⁻³. La m en μ és per què la versió de Kepler està lleugerament fora de lloc per a Júpiter, la massa del qual és d’aproximadament el 0,1% de la del Sol.

La segona llei és la conservació del moment angular. La velocitat areal és dA/dt = h/2, on h = r²·dν/dt és el moment angular específic, constant per a qualsevol força central. En periapsis i apoapsis la velocitat és perpendicular al radi, de manera que r_p·v_p = r_a·v_a: la relació de velocitat és igual a la inversa de la relació de distància. Per a Halley, r_a/r_p = (1 + e)/(1 − e) ≈ 60, de manera que es mou unes 60 vegades més ràpid al periheli que a l’afeli.

Per a col· locar un cos en la seva òrbita en un moment donat necessiteu l’ anomalia mitjana M = n( t − t_ p), amb moviment mitjà n = 2π/ T, i després l’ equació de Kepler, M = E − e sin E. No té una solució de forma tancada; les eines d’aquest lloc la resolen per iteració newtoniana, que convergeix en pocs passos fins i tot per a e = 0.967 de Halley.