Legile lui Kepler

În jurul anului 1600, Johannes Kepler a petrecut ani încercând să facă planetele să se miște în cercuri perfecte. Observațiile lui Marte au refuzat să se potrivească. Ceea ce a descoperit în schimb sunt trei reguli care încă ghidează fiecare navă spațială pe care o lansăm.

Numerele au refuzat să se încadreze în cercuri. Aşa că Kepler a schimbat cercurile.

Uite.

În jurul anului 1600, Johannes Kepler a lucrat cu ani de observații foarte precise ale lui Marte făcute de Tycho Brahe. Toată lumea a presupus că planetele se mișcă în cercuri perfecte. Numerele au refuzat să se potrivească. După ani de muncă, Kepler a găsit trei reguli care se potrivesc.

1. Orbitele sunt elipse (cercuri întinse), cu Soarele puțin decentrat într-un punct numit Focalizarea.
2. O planetă accelerează în apropierea Soarelui și încetinește departe de el. Trageți o linie de la Soare la planetă: aceasta mătură zone egale în timp egal.
3. Orbita mai mare durează mult mai mult. Nu doar mai mult pentru că drumul este mai lung, ci disproporționat de lung.

În sandbox-ul de mai sus, Cometa Halley este încărcată. Privește-l cum se rotește în jurul Soarelui și apoi se târăște prin partea exterioară a orbitei sale. Feliile colorate sunt toate măturate în același timp: subțire și lung departe, scurt și lat aproape. Aceeaşi zonă, acelaşi timp. Aceasta este a doua lege în acțiune.

Înţelegeţi.

O elipsă este descrisă de două numere:

• Semi-axa majoră a: jumătate din lățimea cea mai lungă. Se stabilește dimensiunea.
• • Nu. Excentricitate e: cât de întinsă este. 0 este un cerc; aproape de 1 este foarte lung și subțire.

Cel mai apropiat punct de Soare este periapsis (periheliul pentru Soare), la distanța a(1 − e). Cel mai îndepărtat punct este apoapsis (aphelion), la a(1 + e).

Obiect	a	e
Pământ	1.000	0.017
Martie	1.524	0.093
Cometa lui Halley	17.9	0.967

A treia lege. Pentru orice obiect care orbitează Soarele, pătratul perioadei este proporțional cu cubul semiaxei mari. În ani și au:

T² = a³

Jupiter: a = 5,20 ua, deci T = 5,20^1,5 = 11,9 ani. Halley: a = 17,9 au dă T = 75,9 ani, aproape de faimoasa sa revenire de 75-76 de ani.

Sandbox-ul arată T²/a³ în ani² pe au³. Schimbați orbita în jurul Soarelui cât doriți: rămâne 1.

Maestre.

Newton a derivat toate cele trei legi din legea gravitației. A treia lege în forma sa completă este:

T = 2π · √(a³ / μ),   μ = G(M + m)

Astfel, T²/a³ = 4π²/μ este aceeași pentru fiecare orbită în jurul unui corp central, dar diferită pentru corpuri diferite. Schimbați corpul central al cutiei cu nisip la Pământ și constanta devine aproximativ 9,9 × 10⁻⁵ s² km⁻³ în loc de 1 yr² au⁻³. M în μ este motivul pentru care versiunea lui Kepler este ușor deranjată pentru Jupiter, a cărui masă este de aproximativ 0,1% din cea a Soarelui.

A doua lege este conservarea impulsului unghiular. Viteza areală este dA/dt = h/2, unde h = r²·dν/dt este impulsul unghiular specific, constant pentru orice forță centrală. La periapsis și apoapsis viteza este perpendiculară pe rază, deci r_p·v_p = r_a·v_a: raportul dintre viteză și distanță este invers proporțional. Pentru Halley, r_a/r_p = (1 + e)/(1 − e) ≈ 60, deci se mișcă de aproximativ 60 de ori mai repede la periheliu decât la afeliu.

Pentru a plasa un corp pe orbită la un moment dat, aveți nevoie de anomalia medie M = n(t − t_p), cu mișcarea medie n = 2π/T, și apoi ecuația lui Kepler, M = E − e sin E. Nu are o soluție închisă; instrumentele de pe acest site o rezolvă prin iterația lui Newton, care converge în câțiva pași chiar și pentru e = 0.967 a lui Halley.