Законы Кеплера

Около 1600 года Иоганн Кеплер потратил много лет, пытаясь заставить планеты двигаться по совершенным кругам. Наблюдения Марса отказывались подходить. Вместо этого он обнаружил три правила, которые до сих пор направляют каждый космический корабль, который мы запускаем.

Числа не вписывались в круги. Таким образом, Кеплер изменил круги.

Посмотри.

Около 1600 года Иоганн Кеплер работал с многолетними очень точными наблюдениями Марса, сделанными Тихо Браге. Все предполагали, что планеты движутся по совершенным кругам. Число отказалось вписаться. После многих лет работы Кеплер нашел три правила, которые действительно подходят.

1. Орбиты представляют собой эллипсоиды (вытянутые круги), с Солнцем немного в стороне от центра в точке, называемой фокусом.
2. Планета ускоряется вблизи Солнца и замедляется далеко от него. Нарисуйте линию от Солнца до планеты: она покрывает равные площади за равное время.
3. Большие орбиты занимают гораздо больше времени. Не просто потому, что путь длиннее, но непропорционально длиннее.

В песочнице выше загружена комета Галлея. Смотрите, как она кружится вокруг Солнца и затем ползёт через внешнюю часть своей орбиты. Цветные ломтики проносятся за одинаковое время: тонкие и длинные далеко, короткие и широкие близко. Та же область, то же время. Это второй закон в действии.

Понимаю

Эллипс описывается двумя числами:

• Большая полуось a: половина наибольшей ширины. Он определяет размер.
• Эксцентриситет e: насколько он растянут. 0 представляет собой окружность; близко к 1 очень длинная и тонкая.

Ближайшая к Солнцу точка — это периапс (перигей для Солнца), на расстоянии a(1 − e). Наиболее удалённая точка — это апопсис (афелион), в a(1 + e).

Объект	a (au)	и
Земля	1.000	0.017
Марс	1.524	0.093
Комета Галлея	17.9	0.967

Третий закон. Для всего, что обращается вокруг Солнца, квадрат периода пропорционален кубу большой полуоси. В годах и ау:

T² = а³

Юпитер: a = 5,20 а. е., так что T = 5,20^1,5 = 11,9 лет. Галлей: a = 17,9 а. е. даёт T = 75,9 лет, близко к его знаменитому возвращению через 75—76 лет.

Песочная коробка показывает T²/a³ в годах² на au³. Изменяйте орбиту вокруг Солнца насколько хотите: она остается 1.

Мастер

Ньютон вывел все три закона из своего закона тяготения. Третий закон в полной форме гласит:

T = 2π · √(a³ / μ),   μ = G(M + m)

Таким образом, T²/a³ = 4π²/μ одинаков для каждой орбиты вокруг одного центрального тела, но различен для разных тел. Переключите центральное тело песочницы на Землю и постоянная станет примерно 9,9 × 10⁻⁵ с² км⁻³ вместо 1 год² au⁻³. М в μ объясняет, почему версия Кеплера немного отличается для Юпитера, масса которого составляет около 0,1 % от массы Солнца.

Второй закон — это сохранение импульса. Апертурная скорость dA/dt = h/2, где h = r²·dν/dt — удельный импульс, постоянный для любой центральной силы. В перигелии и апогее скорость перпендикулярна радиусу, так что r_p·v_p = r_a·v_a: отношение скорости равно обратному отношению расстояния. Для Галлея r_a/r_p = (1 + e)/(1 − e) ≈ 60, так что он движется примерно в 60 раз быстрее в перигелии, чем в афелии.

Чтобы поместить тело на его орбиту в данный момент времени, вам нужна средняя аномалия M = n(t − t_p), со средним движением n = 2π/T, и затем уравнение Кеплера, M = E − e sin E. Она не имеет решения в замкнутой форме; инструменты на этом сайте решают её путём итерации Ньютона, которая сходится за несколько шагов даже для e Галлея = 0,967.