Xeerarka Kepler

1600, Johannes Kepler wuxuu ku qaatay sano inuu isku dayo inuu ka dhigo dhulka wareegyada buuxa. Falanqaynta Mars ayaa diiday inay ku habboon yihiin. Waxa uu helay in kastoo ay yihiin saddex sharci oo weli ku socdaan kasta oo spaceship aan bilaabi.

Tirada diiday in ay ku habboon yihiin wareegyada. Sidaa darteed Kepler beddelay wareegyada.

Fiiri

1600, Johannes Kepler wuxuu la shaqeeyay sannado badan oo falanqeyn ah oo ku saabsan Mars oo uu sameeyay Tycho Brahe. Qof kastaa wuxuu u maleeyay in xiddigaha ay ku wareegeen daboollo fiican. Tirada diiday inay ku habboon yihiin. Sanooyin ka dib shaqada, Kepler helay saddex sharci oo ay ku habboon yihiin.

1. Orbits waa elipses (daboolka daboolay), oo leh qorraxda yar off-center at point la yiraahdo focus.
2. Dhulku wuxuu ku dhaqdhaqaaqaa qorraxda oo ka sii yaraadaa meel fog. Ku xardho xariiq qorraxda iyo dhulku u dhexeeya: waxayna ka saartaa meelaha isku midka ah waqtiyo isku mid ah.
3. Orbits weyn qaadataa waqti badan. Ma aha oo kaliya ka sii dheer sababtoo ah jidka waa ka dheer, laakiin si aan la jaanqaadi karin ka sii dheer.

Sandbox-ka kor ku xusan, waxaa la soo dejiyey Halley’s Comet. Fiiri in ay ku wareegsan qorraxda iyo ka dibna u socon qaybta dibadda ee orbit. Qaybaha midabka leh oo dhan waa la isku soo uruuriyay waqti isku mid ah: yar iyo dheer oo fog, gaaban iyo ballaaran oo ku dhow. Goobta, waqti isku mid ah. Taasi waa sharciga labaad ee hawlgalka.

Fahan

A elipses waxaa lagu sharaxay laba tirada:

• midabka-dhexe a: badhka dhererka ugu dheer. Waxay go’aansanaysaa cabbirka.
• excentricity e: sida ay u dheer tahay. 0 waa dabool; ku dhow 1 waa aad u dheer oo dufan ah.

Dhinaca ugu dhow qorraxda waa periapsis (dhexdhexaadka qorraxda), oo ku yaal fogaan a(1 − e). Tiirka ugu fog waa apoapsis (aphelion), oo ku yaal a(1 + e).

Wax	a (or)	e
Dhulka	1.000	0.017
Maarso	1.524	0.093
Halley’s Comet	17.9	0.967

Xeerka saddexaad. Wax kasta oo qorraxda ku wareegsan, square-ka xilliga waa la jaanqaadi karaa cube-ka xarigga semi-major. Sannadaha iyo au:

T² = a³

Jupiter: a = 5.20 au, sidaas darteed T = 5.20^1.5 = 11.9 sano. Halley: a = 17.9 au siin T = 75.9 sano, ku dhow ay caanka ah ee 75 ilaa 76-sano ee soo noqoshada.

Sandbox muujinaya T² / a³ in years² per au³. Ku beddel wareegga qorraxda sida aad rabto: wuxuu ku jiraa 1.

Hoose

Newton ka soo baxay saddexda sharci oo dhan ka sharciga culeyska. Sharciga saddexaad ee qaabka buuxa waa:

T = 2π · √(a³ / μ),   μ = G(M + m)

Sidaa darteed T²/a³ = 4π²/μ waa isku mid dhammaan wareegyada ku wareegsan jirka dhexe, laakiin kala duwan jirro kala duwan. Markaynu jidhka dhexe ee sandbox-ka u wareejino dhulka, markaa xaddidanku wuxuu noqonayaa 9.9 × 10⁻⁵ s² km⁻³ oo aan ahayn 1 yr² au⁻³. M in μ waa sababta Kepler’s version waa wax yar off for Jupiter, oo miisaanka ah 0.1% ee qorraxda.

Sharciga labaad waa ilaalinta momentum-ka geesaha ah. Xawaaraha dhulka waa dA/dt = h/2, halka h = r²·dν/dt ay tahay xawaare-qaadista geeska ah ee gaar ah, oo aan isbeddelin marka la eego xoog kasta oo dhexe. Marka periapsis iyo apoapsis, xawaaraha waa isku dheelitiran yahay radius, sidaa darteed r_p·v_p = r_a·v_a: xawaaraha qaybta waa la mid ah qaybta fogaan-dheer. Halley, r_a/r_p = (1 + e) / (1 − e) ≈ 60, sidaas darteed waxay u dhaqdhaqaaqdaa 60 jeer oo ka dhakhso badan perihelion marka loo eego aphelion.

Si aad u dhigto jirka wareegga uu ku socdo waqti la siiyay waxaad u baahan tahay dhexdhexaad anomaly M = n (t - t_p), oo leh dhexdhexaad dhaqdhaqaaqa n = 2π / T, iyo ka dibna isku midka Kepler, M = E − e sin E. Waxayna leedahay xal aan qaabka xirneyn; qalabka boggaas ku qoran waxay ku xallin karaan Newton iteration, oo isku xiran tallaabooyin yaryar, xitaa e Halley ee = 0.967.