Kepler törvényei

1600 körül Johannes Kepler éveket töltött azzal, hogy megpróbálta a bolygókat tökéletes körökben mozgatni. A Mars megfigyelése nem felelt meg. Amit ehelyett talált, az három szabály, ami még mindig irányít minden űrhajót, amit indítottunk.

A számok nem akartak beleférni a körökbe. Kepler megváltoztatta a körök méretét.

Nézd!

1600 körül Johannes Kepler Tycho Brahe évekig tartó, nagyon pontos megfigyelései alapján dolgozott a Marson. Mindenki azt feltételezte, hogy a bolygók tökéletes körökben mozognak. A számok nem fértek bele. Több évnyi munka után Kepler három olyan szabályt talált, amelyek igazak.

1. A pályák ellipszisek (nyújtott körök), a Nap egy kicsit elmozdulva a középponttól, egy pontban, amit fókusz.
2. A bolygó a Nap közelében felgyorsul, távolabb pedig lelassul. Húzzunk egy vonalat a Naptól a bolygónkig: egyenlő idő alatt egyenlő területeket söpör ki.
3. A nagyobb pályák sokkal hosszabb ideig tartanak. Nem csak azért, mert az út hosszabb, hanem aránytalanul hosszabb.

A fenti homokozóban a Halley-üstökös van betöltve. Nézd, ahogy körbe-körbe kering a Nap körül, majd átmászik pályája külső részén. A színes szeletek mindegyike ugyanabban az időben kerül levetítésre: a távoli vékony és hosszú, a közeli rövid és széles. Ugyanaz a terület, ugyanabban az időben. Ez a második törvény.

Értsd meg.

Az ellipszis két számmal írható le:

• Az a fél-nagytengely: a leghosszabb szélesség fele. Ez határozza meg a méretet.
• Az excentricitás e: mennyire nyújtott. A 0 egy kör; az 1-hez közeli nagyon hosszú és vékony.

A Naphoz legközelebbi pont a Földön. periapsis (a Nap perihéliuma), a(1 − e) távolságban. A legtávolabbi pont a apoapsis (aphelion), a(1 + e).

Tárgy	a (au)	e
Föld	1.000	0.017
Március	1.524	0.093
A Halley-üstökös	17.9	0.967

Harmadik törvény. A Nap körül keringő minden objektum esetében a periódus négyzete arányos a fél nagytengely kockájával. Években és évszámokban:

T² = a³

Jupiter: a = 5,20 AU, tehát T = 5,20^1,5 = 11,9 év. Halley: a = 17,9 au T = 75,9 év, közel a híres 75-76 éves visszatéréshez.

A homokozó T²/a³-t mutat években² per au³. Változtasd meg a Nap körüli pályát, amennyire csak akarod: 1 marad.

Mester!

Newton a gravitációs törvényből vezette le mind a három törvényt. A harmadik törvény teljes formájában:

T = 2π · √(a³ / μ),   μ = G(M + m)

Tehát T²/a³ = 4π²/μ minden pályára ugyanaz egy központi test körül, de különböző a különböző testeknél. Ha a homokozó központi testét a Földre helyezzük, akkor az állandó értéke 1 év² au⁻³ helyett kb. 9,9 × 10⁻⁵ s² km⁻³ lesz. A μ-ban szereplő m miatt Kepler változata kissé eltér a Jupiterétől, amelynek tömege a Nap tömegének 0,1%-a.

A második törvény a lendület megmaradása. A területi sebesség dA/dt = h/2, ahol h = r²·dν/dt a fajlagos lendület, ami bármely központi erő esetén állandó. A periapszis és az apoapszis pontján a sebesség merőleges a sugarra, így r_p·v_p = r_a·v_a: a sebesség aránya megegyezik a távolság inverz arányával. Halley esetében r_a/r_p = (1 + e)/(1 − e) ≈ 60, tehát a perihéliumban kb. 60-szor gyorsabban mozog, mint az apheliumban.

Ahhoz, hogy egy testet adott időpontban pályájára helyezzünk, szükségünk van az M = n(t − t_p) átlagos anomáliára, ahol az átlagmozgás n = 2π/T, majd Kepler egyenletére: M = E − e sin E. Nincs zárt megoldása; az ezen a weboldalon található eszközök Newton-iteratív módszerrel oldják meg, ami néhány lépésben konvergál még Halley e = 0,967 esetén is.