Keplers lagar

Runt 1600 tillbringade Johannes Kepler åratal med att försöka få planeterna att röra sig i perfekta cirklar. Observationerna av Mars vägrade att passa. Vad han istället hittade är tre regler som fortfarande styr varje rymdfarkost vi skjuter upp.

Siffrorna vägrade att passa in i cirklarna. Så Kepler ändrade cirklarna.

Titta.

Runt 1600 arbetade Johannes Kepler med år av mycket noggranna observationer av Mars som gjordes av Tycho Brahe. Alla antog att planeterna rörde sig i perfekta cirklar. Siffrorna vägrade att passa. Efter år av arbete, Kepler hittade tre regler som passar.

1. Omloppsbanor är ellipser (sträckta cirklar), med solen lite off-center vid en punkt som kallas ett fokus.
2. En planet accelererar nära solen och saktar ner långt bort från den. Dra en linje från solen till planeten: den sveper ut lika stora områden på lika lång tid.
3. Större banor tar mycket längre tid. Inte bara längre för att vägen är längre, utan oproportionerligt längre.

I sandlådan ovan är Halleys komet laddad. Se den piska runt solen och sedan krypa genom den yttre delen av sin bana. De färgade skivorna sveps alla på samma tid: tunn och lång långt borta, kort och bred nära intill. Samma område, samma tid. Det är den andra lagen i handling.

Förstå

En ellips beskrivs med två tal:

• Den halva långa axeln a: hälften av den längsta bredden. Det anger storleken.
• Den excentricitet e: hur utsträckt den är. 0 är en cirkel; nära 1 är mycket lång och tunn.

Den närmaste punkten till solen är periapsis (perihelium för solen), på avstånd a(1 − e). Den längsta punkten är apoapsis (aphelion), vid a(1 + e).

Objekt	a	e
Jorden	1.000	0.017
Mars	1.524	0.093
Halleys komet	17.9	0.967

Tredje lagen. För allt som kretsar kring solen är kvadraten av perioden proportionell mot kuben av halvstoraxeln. I år och au:

T² = a³

Jupiter: a = 5,20 au, så T = 5,20^1,5 = 11,9 år. Halley: a = 17,9 au ger T = 75,9 år, nära dess berömda 75 till 76-åriga återkomst.

Sandlådan visar T²/a³ i år² per au³. Ändra banan runt solen så mycket du vill: det förblir 1.

Master

Newton härledde alla tre lagarna från sin gravitationslag. Den tredje lagen i sin fullständiga form är:

T = 2π · √(a³ / μ),   μ = G(M + m)

Så T²/a³ = 4π²/μ är samma för varje bana runt en centralkropp, men olika för olika kroppar. Om man byter sandlådans centralkropp mot jorden blir konstanten ungefär 9,9 × 10⁻⁵ s² km⁻³ istället för 1 yr² au⁻³. M i μ är anledningen till att Keplers version är något fel för Jupiter, vars massa är ungefär 0,1% av solens.

Den andra lagen är bevarandet av rörelsemängd. Arealhastigheten är dA/dt = h/2, där h = r²·dν/dt är den specifika rörelsemängdsmomentet, konstant för alla centralkrafter. Vid periapsis och apoapsis är hastigheten vinkelrät mot radien, så r_p·v_p = r_a·v_a: hastighetsförhållandet är lika med det omvända avståndsförhållandet. För Halley är r_a/r_p = (1 + e)/(1 − e) ≈ 60, så den rör sig ungefär 60 gånger snabbare vid perihelium än vid aphelium.

För att placera en kropp i dess bana vid en given tidpunkt behöver man den genomsnittliga anomalin M = n(t − t_p), med genomsnittlig rörelse n = 2π/T, och sedan Keplers ekvation, M = E − e sin E. Den har ingen sluten lösning; verktygen på denna webbplats löser den med Newton-iterationer, som konvergerar i några steg även för Halleys e = 0,967.