케플러의 법칙

1600년경, 요하네스 케플러는 행성들이 완벽한 원을 그리도록 만들기 위해 수년간 노력했다. 화성의 관측은 적합하지 않았다. 그가 발견한 것은 우리가 발사하는 모든 우주선을 조종하는 세 가지 규칙이었습니다.

숫자는 원에 맞지 않았다. 그래서 케플러는 원을 바꿨다.

봐

1600년경, 요하네스 케플러는 티코 브라헤가 수년간 화성을 정확하게 관측한 자료를 바탕으로 연구했다. 모두가 행성이 완벽한 원을 이동 가정했다. 숫자가 맞지 않았어요 몇 년간의 연구를 통해, 케플러는 세 가지 규칙을 발견했다.

1. 궤도는 타원형입니다 (긴장된 원), 태양이 조금 중심에서 떨어진 지점에 불리는 초점.
2. 행성은 태양 가까이에서 가속되고, 멀리서 느려집니다. 태양과 행성 사이에 선을 그립니다: 같은 시간에 동일한 영역을 쓸어버립니다.
3. 더 큰 궤도는 훨씬 더 오래 걸립니다. 경로가 길기 때문에 길지 않지만 불균형적으로 길다.

위의 샌드박스에서, 핼리 혜성이 로드됩니다. 태양 주위를 돌고, 궤도의 바깥쪽을 기어다니는 모습을 보세요. 색깔이 있는 조각들은 모두 동일한 시간에 쓸어버립니다: 얇고 긴 것은 멀리 있고, 짧고 넓은 것은 가까이 있습니다. 같은 지역, 같은 시간에요 그것이 두번째 법칙입니다.

이해하겠습니다

타원은 두 개의 수로 설명된다:

• 반대축 a: 가장 긴 폭의 반. 크기를 설정합니다.
• 이심률 e: 얼마나 늘어졌는지. 0은 원이고, 1에 가까운 것은 매우 길고 얇습니다.

태양에 가장 가까운 지점은 근일점(태양의 근일점)으로, 거리는 a(1 − e)이다. 가장 먼 지점은 근일점(a(1 + e))이다.

개체	날짜	메시지
지구	1.000	0.017
화성	1.524	0.093
핼리 혜성	17.9	0.967

세번째 법칙 태양을 공전하는 모든 것들의 경우, 주기의 제곱은 반대축의 입방에 비례한다. 년 및 au:

T² = a³

목성: a = 5.20 AU, 따라서 T = 5.20^1.5 = 11.9년이다. 핼리: a = 17.9 AU는 T = 75.9년을 주며, 이는 유명한 75~76년 반복에 가깝다.

샌드박스는 T²/a³를 au³당 years²로 나타낸다. 태양 주위의 궤도를 원하는 만큼 바꿀 수 있습니다. 1로 남아있습니다.

마스터

뉴턴은 중력의 세 가지 법칙을 모두 그의 중력 법칙에서 파생시켰다. 세 번째 법칙은 다음과 같다.

2π · √(a³ / μ),   μ = G(M + m)

따라서 T²/a³ = 4π²/μ은 한 중심천체를 도는 모든 궤도에 대해 동일하지만, 다른 천체에 대해서는 다르다. 샌드박스의 중심체를 지구로 바꾸면 상수는 1 yr² au⁻³ 대신에 약 9.9 × 10⁻⁵ s² km⁻³가 된다. μ에서 m는 케플러의 버전이 목성에 대해서 조금 틀린 이유이며, 목성의 질량은 태양의 0.1% 정도이다.

두 번째 법칙은 각운동량 보존이다. 면적속도는 dA/dt = h/2이며, 여기서 h = r²·dν/dt는 모든 중심력에 대해 일정한 비각운동량이다. 근점과 원점에서의 속도는 반지름에 수직이므로 r_p·v_p = r_a·v_a: 속도 비율은 거리 비율의 역이다. 핼리의 경우 r_a/r_p = (1 + e)/(1 − e) ≈ 60이므로, 근일점에서 원일점보다 약 60배 더 빠르게 움직인다.

주어진 시간에 천체를 그것의 궤도에 놓으려면 평균 이상 M = n(t − t_p), 평균 운동 n = 2π/T, 그리고 케플러 방정식 M = E − e sin E가 필요하다. 이 사이트의 도구는 뉴턴 반복으로 해결하며, 핼리의 e = 0.967에 대해서도 몇 단계에서 수렴한다.