Keplers love

Omkring 1600 brugte Johannes Kepler år på at forsøge at få planeterne til at bevæge sig i perfekte cirkler. Observationerne af Mars nægtede at passe. Hvad han fandt i stedet er tre regler, der stadig styrer alle rumfartøjer vi opsender.

Tallene nægtede at passe ind i cirklerne. Så Kepler ændrede cirklerne.

Se.

Omkring 1600 arbejdede Johannes Kepler med årelange meget præcise observationer af Mars foretaget af Tycho Brahe. Alle antog planeterne bevægede sig i perfekte cirkler. Tallene nægtede at passe. Efter mange års arbejde fandt Kepler tre regler, der passer.

1. Baner er ellipser (strækte cirkler), med Solen lidt off-center på et punkt kaldet en fokus.
2. En planet accelererer nær Solen og bremser væk fra den. Tegn en linje fra Solen til planeten: Den fejer lige store områder ud på lige lange tider.
3. Større kredsløb tager meget længere tid. Ikke længere, fordi vejen er længere, men uforholdsmæssigt længere.

I sandkassen ovenfor er Halleys komet indlæst. Se den piske rundt om Solen og derefter kravle gennem den ydre del af dens bane. De farvede skiver fejes alle på samme tid: tynde og lange langt væk, korte og brede tæt på. Samme område, samme tid. Det er den anden lov i aktion.

Forstået.

En ellipse beskrives af to tal:

• Den halvstore akse a: halvdelen af den længste bredde. Det angiver størrelsen.
• Excentriciteten e: hvor strakt den er. 0 er en cirkel; tæt på 1 er meget lang og tynd.

Det nærmeste punkt til Solen er den periapsis (perihelium for Solen), i afstand a(1 − e). Det fjerneste punkt er apoapsis (aphelion), ved a(1 + e).

Objekt	a	e
Jorden	1.000	0.017
Marts	1.524	0.093
Halleys komet	17.9	0.967

Tredje lov. For alt, der kredser om Solen, er kvadratet af perioden proportionalt med terningen af halv-storeaksen. I år og au:

T² = a³

Jupiter: a = 5,20 au, så T = 5,20^1,5 = 11,9 år. Halley: a = 17,9 au giver T = 75,9 år, tæt på dens berømte 75 til 76-årige tilbagevenden.

Sandkassen viser T²/a³ i år² pr. au³. Ændre banen omkring Solen så meget som du vil: det forbliver 1.

Master

Newton afledte alle tre love fra hans tyngdelov. Den tredje lov i fuld form er:

T = 2π · √(a³ / μ),   μ = G(M + m)

Så T²/a³ = 4π²/μ er den samme for alle baner omkring et centralt legeme, men forskellig for forskellige legemer. Skift sandkassen’s centrale legeme til Jorden og konstanten bliver omkring 9,9 × 10⁻⁵ s² km⁻³ i stedet for 1 yr² au⁻³. M i μ er grunden til at Keplers version er lidt forkert for Jupiter, hvis masse er omkring 0,1% af Solens.

Den anden lov er bevarelsen af momentum. Arealhastigheden er dA/dt = h/2, hvor h = r²·dν/dt er det specifikke momentum, konstant for enhver centralkraft. Ved periapsis og apoapsis er hastigheden vinkelret på radius, så r_p·v_p = r_a·v_a: forholdet mellem hastighed og afstand er omvendt proportionalt. For Halley er r_a/r_p = (1 + e)/(1 − e) ≈ 60, så den bevæger sig omkring 60 gange hurtigere ved perihelium end ved aphelium.

For at placere et legeme i dets bane på et givet tidspunkt, skal man bruge den gennemsnitlige anomali M = n(t − t_p), med en gennemsnitlig bevægelse n = 2π/T, og derefter Keplers ligning, M = E − e sin E. Den har ingen lukket form løsning; værktøjerne på dette websted løser det ved Newton iteration, som konvergerer i et par trin selv for Halleys e = 0,967.