Keplerovi zakoni

Oko 1600. godine, Johannes Kepler proveo je godine pokušavajući navesti planete da se kreću u savršenim krugovima. Promatranja Marsa nisu odgovarala. Ono što je umjesto toga pronašao su tri pravila koja još uvijek upravljaju svakom svemirskom letjelicom koju lansiramo.

Brojevi su se odbili uklapati u krugove. Tako je Kepler promijenio krugove.

Gledaj.

Oko 1600. godine, Johannes Kepler je radio na godinama vrlo preciznih promatranja Marsa koje je napravio Tycho Brahe. Svi su pretpostavljali da se planeti kreću u savršenim krugovima. Brojevi su se odbili uklapati. Nakon višegodišnjeg rada, Kepler je pronašao tri pravila koja se slažu.

1. Orbite su elipse (istegnuti krugovi), sa Suncem malo izvan centra u točki zvanoj fokus.
2. Planet ubrzava blizu Sunca i usporava daleko od njega. Nacrtajte liniju od Sunca do planeta: on pomiče jednaka područja u jednakim vremenskim razmacima.
3. Veće orbite traju mnogo duže. Ne samo dulje jer je put dulji, već nerazmjerno duži.

U pješčaniku iznad, Halleyjev komet je učitan. Gledajte kako se okreće oko Sunca, a zatim puze kroz vanjski dio svoje orbite. Obojene kriške se sve pomiču u istom vremenu: tanke i duge daleko, kratke i široke blizu. Isto područje, isto vrijeme. To je drugi zakon u akciji.

Razumijem.

Elipse se opisuje s dva broja:

• Velika poluos a: polovica najduže širine. To određuje veličinu.
• -Ne. Ne, ne. ekscentricitet e: koliko je rastegnut. 0 je krug; blizu 1 je vrlo dugačak i tanak.

Najbliža točka Suncu je na ekvatoru. periapsis (perihel za Sunce), na udaljenosti a(1 − e). Najdalja točka je apoapsis (aphelion), na a(1 + e).

Objekt	a	e
Zemlja.	1.000	0.017
Mars	1.524	0.093
Halleyjev komet	17.9	0.967

Treći zakon. Za sve što kruži oko Sunca, kvadrat perioda je proporcionalan s kockom velike poluosi. U godinama i au:

T² = a³

Jupiter: a = 5,20 AJ, tako da T = 5,20^1,5 = 11,9 godina. Halley: a = 17,9 AU daje T = 75,9 godina, blizu poznatog povratka od 75 do 76 godina.

Pješčanik prikazuje T²/a³ u godinama² po au³. Promijenite orbitu oko Sunca koliko god želite: ostaje 1.

Gospodaru.

Newton je izradio sva tri zakona gibanja na temelju svog zakona gravitacije. Treći zakon u punom obliku glasi:

T = 2π · √(a³ / μ),   μ = G(M + m)

Tako je T²/a³ = 4π²/μ jednak za svaku orbitu oko jednog središnjeg tijela, ali različit za različita tijela. Pomaknite središnje tijelo pješčanika prema Zemlji i konstanta će postati oko 9,9 × 10⁻⁵ s² km⁻³ umjesto 1 yr² au⁻³. M u μ je razlog zašto je Keplerova verzija malo pogrešna za Jupiter, čija masa iznosi oko 0,1% Sunčeve.

Drugi zakon je očuvanje kutne brzine. Brzina je dA/dt = h/2, gdje je h = r²·dν/dt specifični kutni moment, konstanta za bilo koju središnju silu. U periapsisu i apoapsisu brzina je okomita na polumjer, tako da r_p·v_p = r_a·v_a: omjer brzine jednak je obrnutom omjeru udaljenosti. Za Halleyjev komet, r_a/r_p = (1 + e)/(1 − e) ≈ 60, tako da se kreće oko 60 puta brže u perihelu nego u afelu.

Da bi se tijelo smjestilo u svoju orbitu u danom trenutku, potrebna je srednja anomalija M = n(t − t_p), sa srednjim gibanjem n = 2π/T, a zatim Keplerova jednadžba, M = E − e sin E. Nema rješenje zatvorenog oblika; alati na ovoj stranici ga rješavaju Newtonovom iteracijom, koja konvergira u nekoliko koraka čak i za Halleyevo e = 0.967.