Leis de Kepler

Por volta de 1600, Johannes Kepler passou anos tentando fazer os planetas se moverem em círculos perfeitos. As observações de Marte se recusaram a encaixar. O que ele encontrou, em vez disso, são três regras que ainda orientam cada nave espacial que lançamos.

Os números se recusaram a caber nos círculos. Então Kepler mudou os círculos.

Olha.

Por volta de 1600, Johannes Kepler trabalhou com anos de observações muito precisas de Marte feitas por Tycho Brahe. Todos assumiam que os planetas se moviam em círculos perfeitos. Os números se recusaram a caber. Após anos de trabalho, Kepler encontrou três regras que se encaixam.

1. As órbitas são elipses (círculos esticados), com o Sol um pouco fora do centro em um ponto chamado foco.
2. Um planeta acelera perto do Sol e desacelera longe dele. Desenhe uma linha do Sol ao planeta: ele varre áreas iguais em tempos iguais.
3. Órbitas maiores levam muito mais tempo. Não só mais tempo porque o caminho é mais longo, mas desproporcionalmente mais tempo.

Na sandbox acima, o Cometa de Halley está carregado. Veja-a a rodar em torno do Sol e depois rastejar pela parte exterior da sua órbita. As fatias coloridas são todas varridas na mesma quantidade de tempo: finas e longas longe, curtas e largas perto. Mesma área, mesmo tempo. Essa é a segunda lei em ação.

Entenda.

Uma elipse é descrita por dois números:

• O semi-eixo maior a: metade da largura mais longa. Ele define o tamanho.
• A excentricidade e: quão esticada ela é. 0 é um círculo; perto de 1 é muito longo e fino.

O ponto mais próximo do Sol é o periapsis (periélio para o Sol), à distância a(1 − e). O ponto mais distante é o apoapsis (afelio), em a(1 + e).

Objecto	a (au)	e
Terra	1.000	0.017
Março	1.524	0.093
O Cometa de Halley	17.9	0.967

Terceira lei. Para tudo que orbita o Sol, o quadrado do período é proporcional ao cubo do semieixo maior. Em anos e au:

T² = a³

Júpiter: a = 5,20 UA, então T = 5,20^1,5 = 11,9 anos. Halley: a = 17,9 au dá T = 75,9 anos, perto de seu famoso retorno de 75 a 76 anos.

A sandbox mostra T²/a³ em anos² por au³. Mude a órbita ao redor do Sol o quanto quiser: ela permanece 1.

Mestre

Newton derivou todas as três leis de sua lei da gravidade. A terceira lei em sua forma completa é:

T = 2π · √(a³ / μ),   μ = G(M + m)

Então T²/a³ = 4π²/μ é o mesmo para cada órbita em torno de um corpo central, mas diferente para diferentes corpos. Mude o corpo central da caixa de areia para a Terra e a constante se torna cerca de 9,9 × 10⁻⁵ s² km⁻³ em vez de 1 yr² au⁻³. O m em μ é por que a versão de Kepler está ligeiramente fora para Júpiter, cuja massa é cerca de 0,1% da do Sol.

A segunda lei é a conservação do momento angular. A velocidade areal é dA/dt = h/2, onde h = r²·dν/dt é o momento angular específico, constante para qualquer força central. No periápsis e apoápsis a velocidade é perpendicular ao raio, então r_p·v_p = r_a·v_a: a razão de velocidade é igual à inversa da razão de distância. Para Halley, r_a/r_p = (1 + e)/(1 − e) ≈ 60, então ele se move cerca de 60 vezes mais rápido no periélio do que no afelio.

Para colocar um corpo em sua órbita em um dado momento você precisa da anomalia média M = n(t − t_p), com movimento médio n = 2π/T, e então a equação de Kepler, M = E − e sin E. Não tem solução de forma fechada; as ferramentas neste site resolvem-no por iteração Newtoniana, que converge em poucos passos mesmo para e = 0.967 de Halley.