Gravidade de Newton

A força que puxa uma maçã para o chão é a mesma força que mantém a Lua em sua órbita e os planetas ao redor do Sol. A grande ideia de Isaac Newton era que uma lei explica todas elas. Aqui você vai disparar seu canhão e descobrir o porquê.

A Lua está caindo em direção à Terra o tempo todo. Só continua a faltar.

Olha.

Solte uma bola e ela cai. Jogue-o de lado e ele ainda cai, mas ele pousa mais longe. Isaac Newton fez uma pergunta simples: e se você o jogasse muito rápido?

Imagine um canhão no topo de uma montanha impossivelmente alta, acima do ar. Dispare uma bola de canhão lentamente e ela se curva para baixo e atinge o chão. Atire mais rápido e ele cai mais longe. Como a Terra é redonda, o chão se curva para longe debaixo da bola. Na velocidade certa, o chão se curva exatamente tão rápido quanto a bola cai. A bola continua caindo, mas nunca pousa. Está em órbita.

Tente com o canhão acima. Comece devagar, depois vá mais rápido:

• Muito lento: ele cai para trás (vermelho).
• Apenas certo: ele vai todo o caminho ao redor (verde).
• Muito mais rápido: ele escapa e nunca volta (amarelo).

É também por isso que os astronautas flutuam. Eles não estão além da gravidade. Eles, e suas naves espaciais, estão caindo ao redor da Terra juntos.

Entenda.

A lei da gravitação universal de Newton diz que cada massa puxa todas as outras massas:

F = G · M · m / r²

• F é a força, M e m as duas massas, r a distância entre seus centros.
• G é a constante gravitacional: 6,674 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻².

Duas ideias são embalados nele:

1. As coisas mais pesadas puxam mais forte. O dobro da massa, o dobro da força.
2. Distância enfraquece rapidamente. Dobre a distância e a força cai para um quarto. Essa é a lei do quadrado inverso.

Perto de um planeta, a aceleração de qualquer coisa que cai é g = GM / r². Para a Terra isso dá cerca de 9,8 m/s² na superfície. Na altura da Estação Espacial Internacional (cerca de 420 km), r é apenas 7% maior, portanto a gravidade ainda é cerca de 88% mais forte.

Para uma órbita circular, a gravidade deve fornecer exatamente a força necessária para manter o caminho girando:

v_circular = √(GM / r)

Pouco acima da superfície terrestre, esta é de cerca de 7,9 km/s. Mais rápido do que uma bala de rifle: cerca de 28.000 km/h.

Mestre

Na prática, quase nunca usamos G e M separadamente. Seu produto μ = GM, o parâmetro de gravidade, é medido diretamente e com muito mais precisão a partir do movimento das luas e naves espaciais. Para a Terra, μ = 398.600,4355 km³ s⁻², conhecida para algumas partes por bilhão, enquanto G em si é conhecida apenas para cerca de 22 partes por milhão (CODATA 2018). A massa da Terra citada nas tabelas é realmente μ dividida por G, e herda a incerteza de G.

A ferramenta canhão resolve o movimento exatamente para um problema de dois corpos. Um lançamento horizontal de raio r₀ com velocidade v dá momento angular h = r₀v e uma órbita cônica:

r(ν) = p / (1 + e cos ν),   p = h² / μ,   e = |p / r₀ − 1|

onde ν é o ângulo da periapsis. Se v estiver abaixo da velocidade circular, o ponto de lançamento é a apoapsis e o caminho mergulha para dentro; se ele também mergulhar abaixo da superfície, a bola atinge o chão. Em √(μ/r₀) a órbita é um círculo (e = 0). Em √(2μ/r₀) torna-se uma parábola (e = 1) e a bola escapa.

A lei de Newton também explica por que a montanha da ferramenta é desenhada tão absurdamente alta: na realidade, o ar desaceleraria qualquer bola de canhão muito antes da velocidade orbital, razão pela qual os foguetes sobem acima da maior parte da atmosfera antes de acelerar lateralmente.