Newtonin gravitaatiolaki

Voima, joka vetää omenan maahan on sama voima, joka pitää Kuun sen kiertoradalla ja planeetat ympäri Aurinkoa. Isaac Newtonin suuri ajatus oli, että yksi laki selittää ne kaikki. Täällä voit ampua hänen tykki ja selvittää miksi.

Kuu on koko ajan putoamassa kohti Maata. Se vain katoaa.

Katso.

Pudota pallo ja se putoaa. Heitä se sivuttain ja se putoaa edelleen, mutta se laskeutuu kauemmas. Isaac Newton kysyi yksinkertaisen kysymyksen: mitä jos heität sen todella nopeasti?

Kuvittele tykki mahdottoman korkean vuoren huipulla, taivaan yläpuolella. Ammu tykkipallo hitaasti ja se kaatuu alaspäin ja osuu maahan. Ammu se nopeammin ja se laskeutuu kauemmas. Koska Maa on pyöreä, maa kaareutuu pois pallon alapuolelta. Juuri oikealla nopeudella maa kaareutuu poispäin yhtä nopeasti kuin pallo putoaa. Pallo putoaa, mutta ei koskaan laskeudu. Se on kiertoradalla.

Kokeile yllä olevaa tykkiä. Aloita hitaasti, sitten mene nopeammin:

• Liian hidas: se putoaa taaksepäin (punainen).
• Aivan oikein: se menee koko matkan ympäri (vihreä).
• Paljon nopeammin: se pakenee eikä koskaan palaa (keltainen).

Tämä on myös syy siihen, miksi astronautit leijuvat. Ne eivät ole painovoiman ulkopuolella. He ja heidän avaruusalus, putoavat ympäri maata yhdessä.

Ymmärrän.

Newtonin universaalin painovoiman laki sanoo, että jokainen massa vetää jokaista toista massaa:

F = G · M · m / r²

• F on voima, M ja m ovat kaksi massaa, r niiden keskipisteen välinen etäisyys.
• G on gravitaatiovakio: 6,674 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻².

Siinä on kaksi ideaa:

1. Raskaammat asiat vetävät kovemmin. Kaksinkertainen massa, kaksinkertainen voima.
2. Etäisyys heikentää sitä nopeasti. Tuplaa etäisyys ja voima laskee neljännekseen. Tämä on käänteisen neliön laki.

Planeetan lähellä putoamisen kiihtyvyys on g = GM / r². Maan pinnalla tämä antaa noin 9,8 m/s². Kansainvälisen avaruusaseman korkeudessa (noin 420 km) r on vain 7 % suurempi, joten painovoima on edelleen noin 88 % yhtä voimakas.

Pyöreän kiertoradan kohdalla painovoiman on tarjottava täsmälleen se vetovoima, joka tarvitaan kiertoradan kääntämiseen:

v_circular = √(GM / r)

Juuri Maan pinnan yläpuolella se on noin 7,9 km/s. Faster than a rifle bullet: roughly 28,000 km/h.

Mestari.

Käytännössä emme käytä G:tä ja M:tä lähes koskaan erikseen. Niiden tuote μ = GM, gravitaatioparametri, mitataan suoraan ja paljon tarkemmin kuun ja avaruusaluksen liikkeestä. For Earth, μ = 398,600.4355 km³ s⁻², known to a few parts per billion, while G itself is known only to about 22 parts per million (CODATA 2018). Taulukoissa mainittu Maan massa on todellisuudessa μ jaettuna G:llä, ja se perii G:n epävarmuuden.

Tykkityökalu ratkaisee liikkeen täsmälleen kahden kappaleen ongelman kohdalla. A horizontal launch from radius r₀ with speed v gives angular momentum h = r₀v and a conic orbit:

r(ν) = p / (1 + e cos ν),   p = h² / μ,   e = |p / r₀ − 1|

Jossa ν on kulma periapsista. Jos v on pienempi kuin pyöreä nopeus, lähtöpiste on apoapsis ja polku syvenee sisäänpäin; jos se myös syvenee pinnan alapuolelle, pallo osuu maahan. Jos √(μ/r₀) on tosi, kiertorata on ympyrä (e = 0). Kun √(2μ/r₀) on saavutettu, siitä tulee parabola (e = 1) ja pallo karkaa.

Newtonin laki selittää myös, miksi työkalun vuori on piirretty niin järjettömän korkeaksi: todellisuudessa ilma hidastaisi mitä tahansa tykkipalloa kauan ennen kiertoradan nopeutta, minkä vuoksi raketit nousevat suurimman osan ilmakehän yläpuolelle ennen kuin ne kiihtyvät sivusuunnassa.