Grawitacja newtońska

Siła, która przyciąga jabłko do ziemi jest ta sama siła, która utrzymuje Księżyc na swojej orbicie i planety wokół Słońca. Wielkim pomysłem Isaaca Newtona było to, że jedno prawo wyjaśnia je wszystkie. Tutaj będzie można strzelać z armaty i dowiedzieć się, dlaczego.

Księżyc cały czas spada w kierunku Ziemi. Po prostu ciągle go brakuje.

Spójrz.

Upuść piłkę i spada. Rzuć go na bok i wciąż spada, ale ląduje dalej. Isaac Newton zadał proste pytanie: co jeśli rzuciłeś go bardzo szybko?

Wyobraź sobie działo na szczycie niemożliwie wysokiej góry, nad powietrzem. Strzelaj kulą armatnią powoli, a ona zakrzywia się i uderza w ziemię. Strzelaj szybciej i ląduje dalej. Ponieważ Ziemia jest okrągła, podłoże odchyla się pod piłkę. Przy odpowiedniej prędkości, podłoże odchyla się dokładnie tak szybko jak piłka spada. Piłka ciągle spada, ale nigdy nie ląduje. Jest na orbicie.

Spróbuj z armatą powyżej. Zacznij wolno, a potem szybciej:

• Zbyt wolno: spada do tyłu (czerwony).
• Właśnie tak: idzie dookoła (zielony).
• Znacznie szybciej: ucieka i nigdy nie wraca (żółty).

To również dlatego, że astronauci unosi się. Nie są poza grawitacją. Oni i ich statek kosmiczny, wpadają razem wokół Ziemi.

Rozumiem.

Prawo grawitacji Newtona mówi, że każda masa przyciąga każdą inną masę:

F = G · M · m / r²

• F jest siłą, M i m są dwiema masami, r jest odległością między ich środkami.
• G jest stałą grawitacyjną: 6,674 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻².

Dwie idee są w nim zapakowane:

1. Cięższe rzeczy ciągną mocniej. Podwójna masa, podwójna siła.
2. Odległość szybko ją osłabia. Podwójna odległość powoduje, że siła zmniejsza się do ćwierci. To jest prawo odwrotności kwadratu.

W pobliżu planety przyspieszenie czegokolwiek, co spada wynosi g = GM / r². Dla Ziemi daje to około 9,8 m/s² na powierzchni. Na wysokości Międzynarodowej Stacji Kosmicznej (około 420 km), r jest tylko o 7% większe, więc grawitacja jest nadal około 88% tak silna.

Dla orbity kołowej, grawitacja musi dostarczyć dokładnie tyle siły, ile jest potrzebne do utrzymania ścieżki:

v_circular = √(GM / r)

Tuż nad powierzchnią Ziemi wynosi ona około 7,9 km/s. Szybszy niż pocisk karabinowy: około 28.000 km/h.

Master

W praktyce prawie nigdy nie używamy G i M osobno. Ich iloczyn μ = GM, Parametr grawitacyjny, jest mierzona bezpośrednio i znacznie dokładniej z ruchu księżyców i statków kosmicznych. Dla Ziemi μ = 398,600.4355 km³ s⁻², znane z dokładnością do kilku części na miliard, podczas gdy samo G jest znane tylko z dokładnością do około 22 części na milion (CODATA 2018). Masa Ziemi podana w tabelach jest tak naprawdę μ podzielona przez G, i dziedziczy niepewność G.

Narzędzie Cannon rozwiązuje ruch dokładnie dla problemu dwóch ciał. Poziomy start z promienia r₀ przy prędkości v daje pęd kątowy h = r₀v i orbitę stożkową:

R(ν) = p / (1 + e cos ν),   p = h² / μ,   e = |p / r₀ − 1|

gdzie ν jest kątem od peryhelium. Jeśli v jest poniżej prędkości kołowej, punktem startu jest apoapsis i ścieżka opada do wewnątrz; jeśli również opada poniżej powierzchni, piłka uderza w ziemię. Przy √(μ/r₀) orbita jest okręgiem (e = 0). Przy √(2μ/r₀) staje się parabolą (e = 1) i kula ucieka.

Prawo Newtona wyjaśnia również, dlaczego góra narzędzia jest tak absurdalnie wysoka: w rzeczywistości powietrze spowalniałoby każdą kulę armatnią na długo przed prędkością orbitalną, dlatego rakiety wznoszą się ponad większość atmosfery zanim przyspieszą bocznie.