La gravité de Newton

La force qui tire une pomme vers le sol est la même force qui maintient la Lune dans son orbite et les planètes autour du Soleil. La grande idée d’Isaac Newton était qu’une loi les explique toutes. Ici, vous ferez feu de son canon et découvrir pourquoi.

La Lune tombe vers la Terre tout le temps. Il ne cesse de manquer.

Regardez.

Laissez tomber une balle et elle tombe. Jetez-le sur le côté et il tombe toujours, mais il atterrit plus loin. Isaac Newton a posé une question simple : et si vous le lanciez vraiment vite ?

Imaginez un canon au sommet d’une montagne incroyablement haute, au-dessus des cieux. Tirez une boule de canon lentement et elle se courbe vers le bas et frappe le sol. Tirer plus vite et il atterrit plus loin. Parce que la Terre est ronde, le sol se courbe sous la balle. À la bonne vitesse, le sol se courbe exactement aussi vite que la balle tombe. La balle continue de tomber, mais n’atterrit jamais. Il est en orbite.

Essayez-le avec le canon ci-dessus. Commencez lentement, puis allez plus vite:

• Trop lent: il recule (rouge).
• Juste à droite: il va tout autour (vert).
• Beaucoup plus rapide: il s’échappe et ne revient jamais (jaune).

C’est aussi pourquoi les astronautes flottent. Ils ne sont pas au-delà de la gravité. Ils, et leur vaisseau spatial, tombent autour de la Terre ensemble.

Comprendre

La loi de gravitation universelle de Newton dit que chaque masse tire sur toute autre masse:

F = G · M · m / r²

• F est la force, M et m les deux masses, r la distance entre leurs centres.
• G est la constante gravitationnelle: 6,674 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻².

Deux idées y sont emballées:

1. Les choses plus lourdes tirent plus fort. Doubler la masse, doubler la force.
2. La distance l’affaiblit rapidement. Doublez la distance et la force diminue d’un quart. C’est la loi de l’inverse carré.

Près d’une planète, l’accélération de tout ce qui tombe est g = GM / r². Pour la Terre cela donne environ 9,8 m/s² à la surface. A la hauteur de la Station Spatiale Internationale (environ 420 km), r n’est que de 7% plus grand, donc la gravité est toujours d’environ 88% aussi forte.

Pour une orbite circulaire, la gravité doit fournir exactement l’attraction nécessaire pour continuer à tourner la trajectoire:

v_circular = √(GM / r)

Juste au-dessus de la surface terrestre, elle est d’environ 7,9 km/s. Plus rapide qu’une balle de fusil: environ 28,000 km/h.

Master

En pratique, nous n’utilisons presque jamais G et M séparément. Leur produit μ = GM, Paramètre gravitationnel, est mesurée directement et beaucoup plus précisément à partir du mouvement des lunes et des engins spatiaux. Pour la Terre, μ = 398,600.4355 km³ s⁻², connu à quelques parties par milliard, tandis que G lui-même est connu seulement à environ 22 parties par million (CODATA 2018). La masse de la Terre citée dans les tableaux est réellement μ divisé par G, et elle hérite de l’incertitude de G.

L’outil canon résout le mouvement exactement pour un problème à deux corps. Un lancement horizontal à partir d’un rayon r₀ avec une vitesse v donne un moment angulaire h = r₀v et une orbite conique:

r(ν) = p / (1 + e cos ν),   p = h² / μ,   e = |p / r₀ − 1|

où ν est l’angle par rapport au périapse. Si v est inférieur à la vitesse circulaire, le point de lancement est l’apoapsis et la trajectoire plonge vers l’intérieur; si elle plonge également sous la surface, la balle frappe le sol. À √(μ/r₀) l’orbite est un cercle (e = 0). À √(2μ/r₀) elle devient une parabole (e = 1) et la boule s’échappe.

La loi de Newton explique aussi pourquoi la montagne de l’outil est dessinée si absurdement haute: en réalité, l’air ralentirait n’importe quelle boule de canon bien avant la vitesse orbitale, ce qui explique pourquoi les fusées montent au-dessus de la majeure partie de l’atmosphère avant d’accélérer latéralement.