Η βαρύτητα του Νεύτωνα

Η δύναμη που τραβάει ένα μήλο στο έδαφος είναι η ίδια δύναμη που κρατά τη Σελήνη στην τροχιά της και τους πλανήτες γύρω από τον Ήλιο. Η μεγάλη ιδέα του Ισαάκ Νεύτωνα ήταν ότι ένας νόμος εξηγεί όλα αυτά. Εδώ θα πυροβολήσει το κανόνι του και να μάθετε γιατί.

Η Σελήνη πέφτει προς τη Γη όλη την ώρα. Απλά συνεχίζει να λείπει.

Κοίτα.

Ρίξτε μια μπάλα και πέφτει. Το πετάς στο πλάι και εξακολουθεί να πέφτει, αλλά προσγειώνεται πιο μακριά. Ο Ισαάκ Νεύτων έκανε μια απλή ερώτηση: τι θα γινόταν αν το πέταξες πολύ γρήγορα;

Φανταστείτε ένα κανόνι στην κορυφή ενός απίστευτα ψηλού βουνού, πάνω από τον αέρα. Πυροβολήστε μια μπάλα κανονιού αργά και καμπυλώνεται προς τα κάτω και χτυπά το έδαφος. Πυροβολήστε το πιο γρήγορα και θα προσγειωθεί πιο μακριά. Επειδή η Γη είναι στρογγυλή, το έδαφος καμπυλώνεται κάτω από την μπάλα. Με τη σωστή ταχύτητα, το έδαφος καμπυλώνεται τόσο γρήγορα όσο πέφτει η μπάλα. Η μπάλα συνεχίζει να πέφτει, αλλά ποτέ δεν προσγειώνεται. Είναι σε τροχιά.

Δοκιμάστε το με το κανόνι παραπάνω. Ξεκινήστε αργά, στη συνέχεια πηγαίνετε γρηγορότερα:

• Πολύ αργή: πέφτει πίσω (κόκκινο).
• Ακριβώς δεξιά: πηγαίνει σε όλη τη διαδρομή γύρω (πράσινο).
• Πολύ πιο γρήγορα: διαφεύγει και δεν επιστρέφει ποτέ (κίτρινο).

Αυτός είναι επίσης ο λόγος που οι αστροναύτες επιπλέουν. Δεν είναι πέρα από τη βαρύτητα. Αυτοί και τα διαστημόπλοιά τους πέφτουν γύρω από τη Γη μαζί.

Καταλάβετε

Ο νόμος της παγκόσμιας βαρύτητας του Νεύτωνα λέει ότι κάθε μάζα τραβάει κάθε άλλη μάζα:

F = G · M · m / r²

• Η F είναι η δύναμη, οι Μ και οι μ οι δύο μάζες, η r η απόσταση μεταξύ των κέντρων τους.
• G είναι η βαρυτική σταθερά: 6.674 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻².

Δύο ιδέες είναι συσκευασμένα σε αυτό:

1. Τα βαρύτερα πράγματα τραβούν πιο δυνατά. Διπλασιάστε τη μάζα, διπλασιάστε τη δύναμη.
2. Η απόσταση το αποδυναμώνει γρήγορα. Διπλασιάστε την απόσταση και η δύναμη μειώνεται στο ένα τέταρτο. Αυτό είναι το Νόμος του αντίστροφου τετραγώνου.

Κοντά σε έναν πλανήτη, η επιτάχυνση οποιουδήποτε αντικειμένου που πέφτει είναι g = GM / r². Για τη Γη αυτό δίνει περίπου 9,8 m/s² στην επιφάνεια. Στο ύψος του Διεθνούς Διαστημικού Σταθμού (περίπου 420 χλμ.), είναι μόνο 7% μεγαλύτερο, έτσι η βαρύτητα εξακολουθεί να είναι περίπου 88% τόσο ισχυρή.

Για μια κυκλική τροχιά, η βαρύτητα πρέπει να παρέχει ακριβώς την έλξη που απαιτείται για να συνεχίσει να γυρίζει το μονοπάτι:

v_cyclic = √(GM / r)

Λίγο πάνω από την επιφάνεια της Γης είναι περίπου 7,9 χλμ/δευτερόλεπτο. Ταχύτερη από μια σφαίρα τουφεκιού: περίπου 28.000 χλμ/ώρα.

Κύριε.

Στην πράξη σχεδόν ποτέ δεν χρησιμοποιούμε το Γ και το Μ ξεχωριστά. Το γινόμενο τους μ = GM, το Η βαρυτική παράμετρος, μετράται απευθείας και με πολύ μεγαλύτερη ακρίβεια από την κίνηση των φεγγαριών και των διαστημοπλοίων. Για τη Γη, μ = 398.600,4355 km³ s⁻², γνωστό σε μερικά μέρη ανά δισεκατομμύριο, ενώ το ίδιο το G είναι γνωστό μόνο σε περίπου 22 μέρη ανά εκατομμύριο (CODATA 2018). Η μάζα της Γης που αναφέρεται στους πίνακες είναι στην πραγματικότητα μ διαιρεμένη με το G, και κληρονομεί την αβεβαιότητα του G.

Το εργαλείο κανόνι λύνει την κίνηση ακριβώς για ένα πρόβλημα δύο σωμάτων. Μια οριζόντια εκτόξευση από ακτίνα με ταχύτητα δίνει ορμή και μια κωνική τροχιά:

Για παράδειγμα, η σειρά r(n) = p / (1 + e cos ν),   p = h² / μ,   e = |p / r₀ − 1|.

όπου ν είναι η γωνία από την περιάψι. Αν η v είναι μικρότερη από την κυκλική ταχύτητα, το σημείο εκτόξευσης είναι η απόβαση και η τροχιά βυθίζεται προς τα μέσα. Αν επίσης βυθιστεί κάτω από την επιφάνεια, η μπάλα χτυπά το έδαφος. Στο √(μ/r₀) η τροχιά είναι ένας κύκλος (e = 0). Στο √(2μ/r₀) γίνεται παραβολή (e = 1) και η μπάλα διαφεύγει.

Ο νόμος του Νεύτωνα εξηγεί επίσης γιατί το βουνό του εργαλείου είναι σχεδιασμένο τόσο παράλογα ψηλό: στην πραγματικότητα ο αέρας θα επιβραδύνει κάθε κανονιοβολία πολύ πριν την τροχιακή ταχύτητα, γι ‘αυτό οι πύραυλοι ανεβαίνουν πάνω από το μεγαλύτερο μέρος της ατμόσφαιρας πριν επιταχυνθούν πλευρικά.