Newtonova zákonitosť gravitácie

Sila, ktorá priťahuje jablko k zemi je rovnaká sila, ktorá drží Mesiac na svojej obežnej dráhe a planéty okolo Slnka. Skvelá myšlienka Isaaca Newtona bola, že jeden zákon vysvetľuje všetky. Tu budete strieľať svoje delo a zistiť, prečo.

Mesiac sa stále približuje k Zemi. Stále mi chýba.

Pozri.

Drop loptu a to padá. Hoďte ho do strany a stále padá, ale pristane ďalej. Isaac Newton položil jednoduchú otázku: čo ak by ste ho hodili naozaj rýchlo?

Predstavte si delo na vrchole neuveriteľne vysokej hory, nad obzorom. Vystreliť delovú guľu pomaly a to sa ohýba nadol a narazí na zem. Vystreliť rýchlejšie a to pristane ďalej. Keďže Zem je guľatá, zem sa od lopty odkláňa. Pri správnej rýchlosti sa zem odkloní presne tak rýchlo, ako lopta padá. Lopta stále padá, ale nikdy nepristane. Je na obežnej dráhe.

Skúste to s delom vyššie. Začnite pomaly, potom pokračujte rýchlejšie:

• Príliš pomalý: padá späť (červená).
• Tak ako má byť: ide to celkom dookola (zelená).
• Oveľa rýchlejšie: unikne a už sa nevráti (žltá).

To je tiež dôvod, prečo sa astronauti vznášajú. Nie sú mimo gravitačné pole. Oni a ich kozmické lode sa spoločne rozpadajú okolo Zeme.

Pochopte to.

Newtonov zákon všeobecnej gravitácie hovorí, že každá hmota ťahá za každú inú hmotu:

F = G · M · m / r²

• F je sila, M a m sú dve hmoty, r je vzdialenosť medzi ich stredmi.
• G is the gravitational constant: 6.674 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻².

Dve myšlienky sú zabalené do neho:

1. Ťažšie veci ťahajú silnejšie. Zdvojnásobte hmotnosť, zdvojnásobte silu.
2. Vzdialenosť ho rýchlo oslabuje. Zdvojnásobte vzdialenosť a sila klesne na štvrtinu. To je zákon inverzného kvadratu.

V blízkosti planéty je zrýchlenie čohokoľvek padajúceho g = GM / r². Pre Zem to dáva približne 9,8 m/s² na povrchu. Vo výške Medzinárodnej vesmírnej stanice (asi 420 km) je r len o 7% väčšie, takže gravitácia je stále asi o 88% silnejšia.

Pre kruhové obežné dráhy musí gravitácia poskytnúť presne toľko ťahu, aby sa dráha neustále otáčala:

v_cirkulárny = √(GM / r)

Tesne nad zemským povrchom je to asi 7,9 km/s. Faster than a rifle bullet: roughly 28,000 km/h.

Majster

V praxi sa G a M takmer nikdy nepoužívajú samostatne. Ich súčin μ = GM, gravitačný parameter, sa meria priamo a oveľa presnejšie z pohybu mesiacov a kozmických lodí. For Earth, μ = 398,600.4355 km³ s⁻², known to a few parts per billion, while G itself is known only to about 22 parts per million (CODATA 2018). Hmotnosť Zeme uvedená v tabuľkách je skutočne μ delené G, a zdedí neistotu G.

Nástroj delá rieši pohyb presne pre problém dvoch telies. A horizontal launch from radius r₀ with speed v gives angular momentum h = r₀v and a conic orbit:

r(ν) = p / (1 + e cos ν),   p = h² / μ,   e = |p / r₀ − 1|

kde ν je uhol od periapsid. Ak je v pod kruhovou rýchlosťou, odpaľovací bod je apoapsída a dráha klesá dovnútra; ak klesá aj pod povrch, lopta narazí na zem. Pri √(μ/r₀) je obežná dráha kruh (e = 0). Pri √(2μ/r₀) sa stane parabolou (e = 1) a guľa unikne.

Newtonov zákon tiež vysvetľuje, prečo je hora nástroja nakreslená tak absurdne vysoká: v skutočnosti by vzduch spomalil akúkoľvek delovú guľu dlho pred orbitálnou rýchlosťou, čo je dôvod, prečo rakety stúpajú nad väčšinu atmosféry pred zrýchľovaním do strán.