Newtons gravitasjonslov

Kraften som trekker et eple til bakken er den samme kraften som holder månen i bane og planetene rundt solen. Isaac Newtons store idé var at én lov forklarer dem alle. Her vil du skyte sin kanon og finne ut hvorfor.

Månen faller mot jorden hele tiden. Den forsvinner bare.

Se.

Slipp en ball og den faller. Kast den til siden og den faller fortsatt, men den lander lenger unna. Isaac Newton stilte et enkelt spørsmål: hva om du kastet den * virkelig * raskt?

Tenk deg en kanon på toppen av et umulig høyt fjell, over luften. Skyt en kanonkule sakte og den buer ned og treffer bakken. Skyt den raskere og den lander lenger unna. Fordi jorden er rund, buer bakken bort under ballen. Med akkurat riktig hastighet, buer bakken bort nøyaktig like fort som ballen faller. Ballen fortsetter å falle, men lander aldri. Den er i bane.

Prøv det med kanonen ovenfor. Start sakte, deretter gå raskere:

• For treg: den faller tilbake (rød).
• Rett rett: den går hele veien rundt (grønn).
• Mye raskere: den rører seg og kommer aldri tilbake (gul).

Dette er også grunnen til at astronauter svever. De er ikke utenfor tyngdekraften. De, og deres romfartøyer, faller rundt Jorden sammen.

Forstår

Newtons gravitasjonslov sier at hver masse trekker på enhver annen masse:

F = G · M · m / r²

• F er kraften, M og m de to massene, r avstanden mellom deres sentre.
• G is the gravitational constant: 6.674 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻².

To ideer er pakket inn i det:

1. Tyngre ting trekker hardere. Doble massen, doble kraften.
2. Avstand svekker det raskt. Doble avstanden og kraften faller til en fjerdedel. Det er omvendt-kvadrat loven.

I nærheten av en planet er akselerasjon av noe som faller g = GM / r². For jorden gir det ca 9,8 m/s² ved overflaten. På høyden av den internasjonale romstasjonen (ca. 420 km) er r bare 7% større, så tyngdekraften er fortsatt ca. 88% like sterk.

For en sirkulær bane må tyngdekraften gi nøyaktig den tiltrekningen som trengs for å holde banen snudd:

v_ sirkulær = √( GM / r)

Like over jordoverflaten er dette omtrent 7,9 km/s. Raskere enn en riflekule: omtrent 28.000 km/t.

Master

I praksis bruker vi nesten aldri G og M separat. Deres produkt μ = GM, gravitasjonsparameter, måles direkte og langt mer presist fra bevegelsen av måner og romfartøy. For jorden er μ = 398,600.4355 km³ s⁻², kjent til noen få deler per milliard, mens G selv bare er kjent til omtrent 22 deler per million (CODATA 2018). Jordens masse som er oppgitt i tabellene er egentlig μ dividert med G, og den arver usikkerheten til G.

Kanonverktøyet løser bevegelsen nøyaktig for et to-legeme problem. En horisontal oppskyting fra radius r₀ med hastighet v gir bevegelsesmoment h = r₀v og en kjegleformet bane:

r( ν) = p / (1 + e cos ν),   p = h² / μ,   e = |p / r₀ − 1|

Her er ν vinkelen fra periapsis. Hvis v er under sirkelhastigheten, er startpunktet apoapsis og banen synker innover; hvis den også synker under overflaten, treffer ballen bakken. Ved √(μ/r₀) er banen en sirkel (e = 0). Ved √(2μ/r₀) blir den en parabol (e = 1) og ballen unnslipper.

Newtons lov forklarer også hvorfor verktøyets fjell er tegnet så absurd høyt: i virkeligheten ville luften bremse enhver kanonkule lenge før banehastighet, noe som er grunnen til at raketter stiger over det meste av atmosfæren før de akselererer sidelengs.