Newtonsche Schwerkraft

Die Kraft, die einen Apfel auf den Boden zieht, ist dieselbe Kraft, die den Mond in seiner Umlaufbahn und die Planeten um die Sonne hält. Isaac Newtons große Idee war, dass ein Gesetz sie alle erklärt. Hier werden Sie seine Kanone abfeuern und herausfinden, warum.

Der Mond fällt die ganze Zeit auf die Erde zu. Es fehlt einfach immer wieder.

Look

Lass einen Ball fallen und er fällt. Werfen Sie es zur Seite und es fällt immer noch, aber es landet weiter weg. Isaac Newton stellte eine einfache Frage: Was wäre, wenn man es wirklich schnell werfen würde?

Stellen Sie sich eine Kanone auf einem unglaublich hohen Berg über der Luft vor. Feuert eine Kanonenkugel langsam ab und sie krümmt sich nach unten und trifft auf den Boden. Feuert schneller und es landet weiter weg. Weil die Erde rund ist, krümmt sich der Boden unter dem Ball weg. Bei genau der richtigen Geschwindigkeit verformt sich der Boden genauso schnell, wie der Ball fällt. Der Ball fällt immer weiter, landet aber nie. Es ist im Orbit.

Versuchen Sie es mit der Kanone oben. Beginnen Sie langsam, dann gehen Sie schneller:

• Zu langsam: es fällt zurück (rot).
• Genau richtig: es geht rundherum (grün).
• Viel schneller: es entkommt und kommt nie wieder zurück (gelb).

Das ist auch der Grund, warum Astronauten schweben. Sie sind nicht jenseits der Schwerkraft. Sie und ihre Raumschiffe fallen zusammen um die Erde.

Understand

Das Newtonsche Gravitationsgesetz besagt, dass jede Masse an jeder anderen Masse zieht:

F = G · M · m / r²

• F ist die Kraft, M und m die beiden Massen, r der Abstand zwischen ihren Zentren.
• G ist die Gravitationskonstante: 6,674 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻².

Zwei Ideen sind darin verpackt:

1. Schwerere Dinge ziehen härter. Verdoppeln Sie die Masse, verdoppeln Sie die Kraft.
2. Entfernung schwächt sie schnell. Verdoppelt man die Entfernung, sinkt die Kraft auf ein Viertel. Das ist das Umgekehrte-Quadrat-Gesetz.

In der Nähe eines Planeten ist die Beschleunigung von allem, was fällt, g = GM / r². Für die Erde ergibt das etwa 9,8 m/s² an der Oberfläche. In der Höhe der Internationalen Raumstation (ca. 420 km) ist r nur um 7% größer, so dass die Schwerkraft immer noch etwa 88% so stark ist.

Für eine kreisförmige Umlaufbahn muss die Schwerkraft genau den Zug liefern, der benötigt wird, um die Bahn zu drehen:

v_circular = √(GM / r)

Kurz über der Erdoberfläche beträgt diese etwa 7,9 km/s. Schneller als eine Gewehrkugel: etwa 28.000 km/h.

Master

In der Praxis verwenden wir G und M fast nie getrennt. Ihr Produkt μ = GM, der Gravitationsparameter, wird direkt und weitaus genauer aus der Bewegung von Monden und Raumfahrzeugen gemessen. Für die Erde ist μ = 398.600,4355 km³ s⁻², bekannt auf wenige Teile pro Milliarde, während G selbst nur auf etwa 22 Teile pro Million bekannt ist (CODATA 2018). Die in den Tabellen angegebene Masse der Erde ist wirklich μ geteilt durch G, und sie erbt die Unsicherheit von G.

Das Kanonenwerkzeug löst die Bewegung exakt für ein Zweikörperproblem. Ein horizontaler Start aus Radius r₀ mit Geschwindigkeit v ergibt Drehimpuls h = r₀v und eine konische Umlaufbahn:

r(ν) = p / (1 + e cos ν),   p = h² / μ,   e = |p / r₀ − 1|

wobei ν der Winkel von der Periapsis ist. Wenn v unterhalb der Kreisgeschwindigkeit liegt, ist der Startpunkt die Apoapsis und die Bahn sinkt nach innen; wenn sie auch unterhalb der Oberfläche sinkt, trifft der Ball den Boden. Bei √(μ/r₀) ist die Umlaufbahn ein Kreis (e = 0). Bei √(2μ/r₀) wird es zu einer Parabel (e = 1) und die Kugel entweicht.

Newtons Gesetz erklärt auch, warum der Berg des Werkzeugs so absurd hoch gezeichnet ist: In Wirklichkeit würde die Luft jede Kanonenkugel lange vor der Umlaufgeschwindigkeit verlangsamen, weshalb Raketen über den größten Teil der Atmosphäre steigen, bevor sie seitlich beschleunigen.