Keplersche Gesetze

Um 1600 versuchte Johannes Kepler jahrelang, die Planeten in perfekten Kreisen zu bewegen. Die Beobachtungen des Mars weigerten sich, zu passen. Stattdessen fand er drei Regeln, die immer noch jedes Raumschiff steuern, das wir starten.

Die Zahlen wollten nicht in die Kreise passen. Also veränderte Kepler die Kreise.

Look

Um 1600 arbeitete Johannes Kepler mit jahrelangen, sehr genauen Beobachtungen des Mars durch Tycho Brahe. Jeder ging davon aus, dass sich die Planeten in perfekten Kreisen bewegten. Die Zahlen wollten nicht passen. Nach jahrelanger Arbeit fand Kepler drei Regeln, die passen.

1. Umlaufbahnen sind Ellipsen (gestreckte Kreise), wobei die Sonne an einem Punkt, der als Brennpunkt bezeichnet wird, etwas außerhalb des Zentrums liegt.
2. Ein Planet beschleunigt sich in der Nähe der Sonne und verlangsamt sich weit weg von ihr. Ziehen Sie eine Linie von der Sonne zum Planeten: Er fegt gleiche Flächen in gleicher Zeit aus.
3. Größere Umlaufbahnen dauern viel länger. Nicht nur länger, weil der Weg länger ist, sondern überproportional länger.

In der Sandbox oben ist Halley’s Comet geladen. Beobachten Sie, wie er um die Sonne herumläuft und dann durch den äußeren Teil seiner Umlaufbahn kriecht. Die farbigen Scheiben werden alle in der gleichen Zeit gezogen: dünn und lang weit weg, kurz und breit nah. Gleiches Gebiet, gleiche Zeit. Das ist das zweite Gesetz in Aktion.

Understand

Eine Ellipse wird durch zwei Zahlen beschrieben:

• Die Große Halbachse a: die Hälfte der längsten Breite. Es legt die Größe fest.
• Die Exzentrizität e: wie gestreckt sie ist. 0 ist ein Kreis; nahe 1 ist sehr lang und dünn.

Der nächstgelegene Punkt zur Sonne ist der Periapsis (Perihel für die Sonne), in einer Entfernung von a(1 − e). Der entfernteste Punkt ist der Apoapsis (Aphelium), bei a(1 + e).

Objekt	a	e
Erde	1.000	0.017
Mars	1.524	0.093
Der Halleysche Komet	17.9	0.967

Drittes Gesetz. Für alles, was die Sonne umkreist, ist das Quadrat der Periode proportional zum Würfel der Halb-Großen Achse. In Jahren und au:

T² = a³

Jupiter: a = 5,20 AE, also T = 5,20^1,5 = 11,9 Jahre. Halley: a = 17,9 au ergibt T = 75,9 Jahre, nahe an seinem berühmten 75- bis 76-jährigen Rücklauf.

Die Sandbox zeigt T²/a³ in Jahren² pro au³ an. Ändern Sie die Umlaufbahn um die Sonne so viel wie Sie möchten: es bleibt 1.

Master

Newton hat alle drei Gesetze aus seinem Schwerkraftgesetz abgeleitet. Das dritte Gesetz in seiner vollständigen Form lautet:

T = 2π · √(a³ / μ),   μ = G(M + m)

So ist T²/a³ = 4π²/μ für jede Umlaufbahn um einen Zentralkörper gleich, aber unterschiedlich für verschiedene Körper. Wenn man den zentralen Körper der Sandbox auf die Erde stellt, wird die Konstante etwa 9,9 × 10⁻⁵ s² km⁻³ anstatt 1 yr² au⁻³. Das m in μ ist der Grund, warum Keplers Version für den Jupiter, dessen Masse etwa 0,1% der Sonne entspricht, etwas falsch ist.

Das zweite Gesetz ist die Erhaltung des Drehimpulses. Die Flächengeschwindigkeit ist dA/dt = h/2, wobei h = r²·dν/dt der spezifische Drehmoment ist, konstant für jede Zentralkraft. An der Periapsis und Apoapsis ist die Geschwindigkeit senkrecht zum Radius, also r_p·v_p = r_a·v_a: das Geschwindigkeitsverhältnis entspricht dem inversen Entfernungsverhältnis. Für Halley ist r_a/r_p = (1 + e)/(1 − e) ≈ 60, also bewegt er sich im Perihel etwa 60-mal schneller als im Aphel.

Um einen Körper zu einem bestimmten Zeitpunkt auf seine Bahn zu setzen, benötigt man die mittlere Anomalie M = n(t − t_p), mit einer mittleren Bewegung n = 2π/T und dann die Keplersche Gleichung M = E − e sin E. Sie hat keine geschlossene Lösung; die Werkzeuge auf dieser Seite lösen sie durch Newton-Iteration, die in wenigen Schritten konvergiert, selbst für Halley’s e = 0.967.