Законы Кеплера

У 1600 годзе Кеплер выказаў здагадку, што планеты рухаюцца па кругах. Назіранні Марса не адпавядалі. У выніку ён зрабіў тры спробы, якія не ўдалося ажыццявіць.

Але лічбы не адпавядалі рэчаіснасці. Так Кеплер змяніў кругі.

Паглядзець

У 1600 годзе Ян Кеплер працаваў з дакладнымі назіраннямі Марса, зробленымі Тыхо Браге. Усе астатнія планеты рухаюцца па кругах. Але лічбы не адпавядалі рэчаіснасці. After years of work, Kepler found three rules that do fit.

1. Арбіты - эліпсы (выцягнутыя кругі), з Сонцам трохі выцягнутым з цэнтра ў кропцы, якая называецца фокус.
2. Планета прыганяе ў раёне Сонца і спыняецца далёка ад яго. Нацягніце лінію ад Сонца да планеты: яна закранае аднолькавыя вобласці за аднолькавае час.
3. Большасць птушак жыве даволі доўга. Не толькі таму, што шлях даўжэйшы, але і таму, што ён непрапарцыйны.

У верхняй частцы сцяны размешчаны вялікі алтар. Ён уваходзіць у склад Сонечнай сістэмы і знаходзіцца ў цэнтральнай частцы яе арбіты. Усе выявы на сцяне былі зроблены ў адным стылі: простыя і выразныя, але з рознымі дэталямі. Same area, same time. Гэта другі закон у дзеянні.

Паразумець

Эліпс апісваецца двума лічбамі:

• Змяніць Вышыня:: палова найбольшай шырыні. Гэта вызначае памер.
• Эксцэнтрычнасць e: наколькі яна расцягнута. 0 — круг; блізка да 1 вельмі доўгі і тонкі.

The closest point to the Sun is the periapsis (perihelion for the Sun), at distance a(1 − e). Найбольш далёкая кропка — апоапсіс (афелій), у а(1 + e).

Аб’ ект	а (або)	і
Зямля	1.000	0.017
Мар	1.524	0.093
Камета Галлея	17.9	0.967

Third law. For everything orbiting the Sun, the square of the period is proportional to the cube of the semi-major axis. У гадах і г. д.:

Т² = a³

Юпітэр: a = 5,20 а. е., таму T = 5,20^1,5 = 11,9 гадоў. Галееў: a = 17,9 а. е. дае T = 75,9 гадоў, што блізка да яго знакамітага 75-76-гадовага вяртання.

The sandbox shows T²/a³ in years² per au³. Змяніць арбіту вакол Сонца столькі, колькі вам хочацца: яна застаецца 1.

Галоўны

Ньютан выводзіў усе тры законы з свайго закона прыцягнення. Трэці закон у поўнай форме:

T = 2π · √( a³ / μ),   μ = G( M + m)

So T²/a³ = 4π²/μ is the same for every orbit around one central body, but different for different bodies. Switch the sandbox’s central body to Earth and the constant becomes about 9.9 × 10⁻⁵ s² km⁻³ instead of 1 yr² au⁻³. Менавіта таму ў версіі Кеплера m у μ неяк адрозніваецца для Юпітэра, маса якога складае каля 0,1% ад Сонца.

Другі закон — закон захавання імпульсу. Аператыўная хуткасць dA/dt = h/2, дзе h = r²·dν/dt — звычайны кутовы імпульс, пастаянны для любой цэнтральнай сілы. У перыапсісе і апапсісе хуткасць перпендыкулярная радыясу, так што r_p·v_p = r_a·v_a: суадносіны хуткасці роўна зваротнай суадносіне адлегласці. Для Галея r_a/r_p = (1 + e)/(1 − e) ≈ 60, так што ён рухаецца ў 60 разоў хутчэй у перигеліі, чым у афеліі.

Для таго, каб паставіць цела на яго арбіту ў дадзены момант часу, вам патрэбна сярэдняя аномаліі M = n(t − t_p), з сярэднім рухам n = 2π/T, і пасля гэтага раўнанне Кеплера, M = E − e sin E. Гэтая формула не мае закрыта-фармальнага рашэння; інструменты на гэтым сайце вырашаюць яе з дапамогай ітэрацыі Ньютана, якая сціскаецца ў некалькіх кроках нават для e Галея = 0.967.