Закони на Кеплер

Около 1600 г. Йоханес Кеплер прекарва години в опити да накара планетите да се движат в перфектни кръгове. Наблюденията на Марс отказаха да се поберат. Това, което открил вместо това са три правила, които все още управляват всеки космически кораб, който изстрелваме.

Числата отказаха да се поберат в кръговете. Така Кеплер променил кръговете.

Вижте.

Около 1600 г. Йоханес Кеплер работи с години на много точни наблюдения на Марс, направени от Тихо Брахе. Всички предполагаха, че планетите се движат в перфектни кръгове. Числата отказаха да се поберат. След години работа, Кеплер открил три правила, които се вписват.

1. Орбитите са елипси (опънати кръгове), със Слънцето малко извън центъра в точка, наречена фокус.
2. Планетата се ускорява близо до Слънцето и забавя далеч от него. Начертайте линия от Слънцето до планетата: тя изтрива равни площи в еднакви времена.
3. По-големите орбити отнемат много повече време. Не просто по-дълго, защото пътят е по-дълъг, а непропорционално по-дълъг.

В пясъчника по-горе, Халеевата комета е заредена. Наблюдавайте как се движи около Слънцето и след това пълзи през външната част на орбитата си. Цветните резени се промият за еднакво време: тънки и дълги далеч, къси и широки близо. Същата област, същото време. Това е вторият закон в действие.

Разбирам.

Елипсата се описва с две числа:

• • Да. голяма полуос а: половината от най-дългата ширина. Той определя размера.
• • Да. ексцентрицитет e: колко е опъната. 0 е кръг; близо до 1 е много дълъг и тънък.

Най-близката точка до Слънцето е Периапсис (перихелий за Слънцето), на разстояние а(1 − е). Най-отдалечената точка е апоапсис (афелион), на a(1 + e).

Обект	а (au)	и
Земя	1.000	0.017
Март	1.524	0.093
Халеевата комета	17.9	0.967

Третият закон. За всичко, което се движи около Слънцето, квадратът на периода е пропорционален на куба на голямата полуос. В години и ау:

T² = a³

Юпитер: a = 5,20 а.е., така че T = 5,20^1,5 = 11,9 години. Халеевата комета: a = 17,9 а.е. дава T = 75,9 години, близо до известния период на завръщане от 75 до 76 години.

Пясъчникът показва T²/a³ в години² за au³. Променете орбитата около Слънцето колкото искате: тя остава 1.

Господарю.

Нютон извежда и трите закона от своя закон за гравитацията. Третият закон в пълна форма е:

T = 2π · √(a³ / μ),   μ = G(M + m)

Така че T²/a³ = 4π²/μ е еднакво за всяка орбита около едно централно тяло, но различно за различните тела. Ако преместим централното тяло на пясъчника към Земята, константата става около 9.9 × 10⁻⁵ s² km⁻³ вместо 1 yr² au⁻³. М в μ е причината версията на Кеплер да е малко по-различна за Юпитер, чиято маса е около 0,1% от тази на Слънцето.

Вторият закон е запазването на ъгловия импулс. Скоростта на пространството е dA/dt = h/2, където h = r²·dν/dt е специфичният ъглов импулс, константа за всяка централна сила. В периапсидата и апопсидата скоростта е перпендикулярна на радиуса, така че r_p·v_p = r_a·v_a: съотношението на скоростта е равно на обратното съотношение на разстоянието. За Халей r_a/r_p = (1 + e)/(1 − e) ≈ 60, така че той се движи около 60 пъти по-бързо в перихелия, отколкото в афелиума.

За да се постави тяло в орбита в определен момент от време, е необходима средната аномалия M = n(t − t_p), със средно движение n = 2π/T и след това уравнението на Кеплер, M = E − e sin E. Няма решение със затворена форма; инструментите на този сайт го решават чрез итерация по Нютон, която се сближава в няколко стъпки дори за e = 0.967 на Халей.