Kepler se wette

Rondom 1600, Johannes Kepler het jare probeer om die planete in volmaakte sirkels te laat beweeg. Die waarnemings van Mars het geweier om te pas. Wat hy in plaas daarvan gevind het, is drie reëls wat nog steeds elke ruimtetuig stuur wat ons lanseer.

Die getalle het geweier om in die sirkels te pas. So Kepler verander die sirkels.

Kyk

Rondom 1600 het Johannes Kepler jare lank presiese waarnemings van Mars gedoen wat deur Tycho Brahe gemaak is. Iedereen het aangeneem dat planete in perfekte sirkels beweeg. Die getalle het geweier om te pas Na jare se werk, het Kepler drie reëls gevind wat wel pas.

1. Orbite is ellipse (uitgestrekte sirkels), met die Son ‘n bietjie uit-sentrum op ‘n punt genaamd ‘n fokus.
2. ‘n Planeet versnel naby die Son en vertraag ver weg daarvan. Teken ‘n lyn van die Son tot by die planeet: dit vee gelyke gebiede in gelyke tye uit.
3. Grooter baantjies neem baie langer. Nie net langer omdat die pad langer is nie, maar disproportioneel langer.

In die sandkas hierbo, is Halley se komeet gelaai. Kyk hoe dit om die son sweef en dan deur die buiteste deel van sy baan kruip Die gekleurde stukke word almal in dieselfde tyd weggevee: dun en lank ver weg, kort en breed naby. Same plek, same tyd Dis die tweede wet in werking

Verstaan

‘n Ellips word beskryf deur twee getalle:

• Die half-groot as a: die helfte van die langste wydte. Dit stel die grootte.
• Die ekscentriciteit e: hoe uitgerek dit is. 0 is ‘n sirkel; naby aan 1 is baie lank en dun.

Die naaste punt aan die Son is die periapsis (perihelion vir die Son), op afstand a( 1 − e). Die verste punt is die apoapsis (afelium), by a( 1 + e).

Voorwerp	a (of)	e
Aarde	1.000	0.017
Mars	1.524	0.093
Halley se komeet	17.9	0.967

Derde wet. Vir alles wat om die son draai, is die vierkant van die periode proporsioneel aan die kubus van die half- groot as. In jare en au:

T² = a³

Jupiter: a = 5.20 au, so T = 5.20^1.5 = 11.9 years. Halley: a = 17.9 au gee T = 75.9 jaar, naby aan sy beroemde 75 tot 76-jaar terugkeer.

Die sandkas vertoon T²/a³ in jare² per au³. Verander die baan om die son soveel as jy wil hê: dit bly 1.

Meester

Newton het al drie wette afgeleide van sy wet van gewigsverlies. Die derde wet in volle vorm is:

T = 2π · √(a³ / μ),   μ = G(M + m)

Dus T²/a³ = 4π²/μ is dieselfde vir elke baan om een sentrale liggaam, maar verskillend vir verskillende liggame. Skakel die sandkas se sentrale liggaam na die Aarde en die konstante word ongeveer 9.9 × 10⁻⁵ s² km⁻³ in plaas van 1 yr² au⁻³. Die m in μ is waarom Kepler se weergawe iets verkeerd is vir Jupiter, wie se massa ongeveer 0.1% van die son se is.

Die tweede wet is die behoud van hoekmomentum. Die area-snelheid is dA/dt = h/2, waar h = r²·dν/dt die spesifieke hoekmomentum is, konstant vir enige sentrale kracht. By periapsis en apoapsis is die spoed perpendikulaar aan die straal, dus r_ p· v_ p = r_ a· v_ a: die spoedverhouding is gelyk aan die omgekeerde afstandsverhouding. Vir Halley, r_a/r_p = (1 + e)/(1 − e) ≈ 60, dus beweeg dit ongeveer 60 keer vinniger by perihelium as by afelie.

Om ‘n liggaam op sy baan te plaas op’ n gegewe tyd, benodig jy die gemiddelde anomalie M = n( t − t_ p), met gemiddelde beweging n = 2π/ T, en dan Kepler se vergelyking, M = E − e sin E. Dit het geen geslote-vorm oplossing nie; die gereedskap op hierdie webwerf los dit op deur Newton-iterasie, wat in ‘n paar stappe konvergeer selfs vir Halley se e = 0.967.