Ligjet e Keplerit

Rreth vitit 1600, Johannes Kepler kaloi vite duke u përpjekur të bënte planetet të lëviznin në rrethe të përsosura. Vëzhgimet e Marsit refuzuan të përshtaten. Ajo që gjeti në vend të kësaj janë tre rregulla që ende udhëheqin çdo anije hapsinore që ne nisim.

Numrat nuk u përshtatën me rrethet. Kështu që Kepleri i ndryshoi rrethet.

Shiko.

Rreth vitit 1600, Johannes Kepler punoi me vite të vëzhgimeve shumë të sakta të Marsit nga Tycho Brahe. Të gjithë supozojnë se planetet lëvizin në rrethe të përsosura. Numrat nuk u pajtuan. Pas viteve të punës, Kepler gjeti tre rregulla që përshtaten.

1. Orbitat janë elipsë (rrethe të zgjatura), me Diellin pak jashtë qendrës në një pikë që quhet fokus.
2. Një planet shpejton pranë Diellit dhe ngadalësohet larg prej tij. Vendose një vijë nga Dielli tek planeti: ai fshin zona të barabarta në kohë të barabartë.
3. Orbitat më të mëdha marrin shumë kohë. Jo vetëm më gjatë sepse rruga është më e gjatë, por në mënyrë të papërshtatshme më e gjatë.

Në kutinë e rërës, është ngarkuar Kometa e Haleit. Shikoni si rrotullohet rreth Diellit dhe pastaj të zhytet nëpër pjesën e jashtme të orbitës së tij. Fijet e ngjyrosura janë të gjitha të fshiura në të njëjtën kohë: të hollë dhe të gjatë larg, të shkurtër dhe të gjerë afër. E njëjta zonë, e njëjta kohë. Ky është ligji i dytë në veprim.

Kuptoje.

Një elipsë përshkruhet nga dy numra:

• Gjysmë-boshti i madh a: gjysma e gjerësisë më të gjatë. Kjo e vendos madhësinë.
• • Po. Ekscentriciteti eSa e zgjatur është. 0 është një rreth; pranë 1 është shumë e gjatë dhe e hollë.

Pika më e afërt me Diellin është periapsis (periheli për Diellin), në distancë a(1 − e). Pika më e largët është apoapsis (aphelion), në a(1 + e).

Objekti	një	e
Toka	1.000	0.017
Mars	1.524	0.093
Kometa e Halley	17.9	0.967

Ligji i tretë. Për çdo gjë që orbiton Diellin, katrori i periudhës është proporcional me kub të gjysmë-boshtit të madh. Në vite dhe në orë:

T² = a³

Jupiteri: a = 5.20 au, kështu që T = 5.20^1.5 = 11.9 vjet. Halley: a = 17.9 au jep T = 75.9 vjet, pranë të famshmes së tij 75 deri në 76-vjeçare kthim.

Kutia e rërës tregon T²/a³ në vite² për au³. Ndrysho orbitën rreth Diellit sa të duash: ajo mbetet 1.

Mjeshtër

Njutoni i nxorri të tre ligjet nga ligji i tij i gravitetit. Ligji i tretë në formën e plotë është:

T = 2π · √(a³ / μ),   μ = G(M + m)

Pra T²/a³ = 4π²/μ është e njëjtë për çdo orbitë rreth një trupi qendror, por ndryshe për trupa të ndryshëm. Ndrysho trupin qendror të kutisë së rërës në Tokë dhe konstantja bëhet rreth 9.9 × 10⁻⁵ s² km⁻³ në vend të 1 yr² au⁻³. M në μ është pse versioni i Keplerit është pak larg për Jupiterin, masa e të cilit është rreth 0.1% e Diellit.

Ligji i dytë është ruajtja e impulsit këndor. Shpejtësia e sipërfaqes është dA/dt = h/2, ku h = r²·dν/dt është momenti këndor specifik, konstant për çdo forcë qendrore. Në periapsis dhe apoapsis shpejtësia është perpendikular me rrezen, kështu që r_p·v_p = r_a·v_a: raporti i shpejtësisë është i barabartë me raportin e kundërt të distancës. Për Halley, r_a/r_p = (1 + e) / (1 − e) ≈ 60, kështu që ajo lëviz rreth 60 herë më shpejt në perihelion se sa në aphelion.

Për të vendosur një trup në orbitën e tij në një kohë të caktuar ju duhet anomalia mesatare M = n (t − t_p), me lëvizjen mesatare n = 2π/T, dhe pastaj ekuacioni i Keplerit, M = E − e sin E. Nuk ka zgjidhje të mbyllur; instrumentet në këtë faqe e zgjidhin atë me iteracionin e Njutonit, i cili konvergon në disa hapa edhe për e Halley’s = 0.967.