Hukum Kepler

Sekitar tahun 1600, Johannes Kepler menghabiskan bertahun-tahun mencoba membuat planet bergerak dalam lingkaran sempurna. Pengamatan Mars menolak untuk cocok. Apa yang dia temukan adalah tiga aturan yang masih memandu setiap pesawat ruang angkasa kita luncurkan.

Angka-angka menolak untuk sesuai dengan lingkaran. Jadi Kepler mengubah lingkaran.

Lihat

Sekitar tahun 1600, Johannes Kepler bekerja dengan pengamatan Mars yang sangat akurat selama bertahun-tahun oleh Tycho Brahe. Semua orang mengasumsikan planet bergerak dalam lingkaran sempurna. Nomornya tidak cocok. Setelah bertahun-tahun bekerja, Kepler menemukan tiga aturan yang cocok.

1. Orbits are elipses (stretched circles), dengan Matahari sedikit off-center di titik yang disebut focus.
2. Sebuah planet mempercepat di dekat Matahari dan memperlambat jauh darinya. Gambarkan garis dari Matahari ke planet: ia menyedot area yang sama dalam waktu yang sama.
3. Orbit yang lebih besar membutuhkan waktu yang jauh lebih lama. Tidak hanya lebih lama karena jalurnya lebih panjang, tapi tidak proporsional lebih panjang.

Di kotak pasir di atas, Halley’s Comet sudah terisi. Lihatlah ia mengelilingi Matahari dan kemudian merangkak melalui bagian luar orbitnya. Kepingan berwarna semua disaring dalam jumlah waktu yang sama: tipis dan panjang jauh, pendek dan lebar dekat. Wilayah yang sama, waktu yang sama. Itu adalah hukum kedua dalam aksi.

Mengerti

Sebuah elips dideskripsikan oleh dua angka:

• Sumbu semi-major a: setengah dari lebar terpanjang. Itu menentukan ukurannya.
• The ekscentricity e: seberapa lebarnya. 0 adalah lingkaran; dekat dengan 1 sangat panjang dan tipis.

Titik terdekat dengan Matahari adalah periapsis (perihelion untuk Matahari), pada jarak a(1 − e). Titik terjauh adalah apoapsis (aphelion), pada a(1 + e).

Objek	a (atau)	dan
Bumi	1.000	0.017
Mars	1.524	0.093
Komet Halley	17.9	0.967

Hukum ketiga. Untuk segala sesuatu yang mengorbit Matahari, kuadrat periodenya proporsional dengan kubus sumbu semi-mayor. Dalam tahun dan au:

T² = a³

Yupiter: a = 5.20 au, jadi T = 5.20^1.5 = 11.9 tahun. Halley: a = 17.9 au memberikan T = 75.9 tahun, dekat dengan 75 hingga 76 tahunnya yang terkenal.

Kotak pasir menunjukkan T²/a³ dalam tahun² per au³. Ubah orbit di sekitar Matahari sebanyak yang Anda inginkan: tetap 1.

Master

Newton memperoleh ketiga hukum tersebut dari hukum gravitasinya. Hukum ketiga dalam bentuk penuh adalah:

T = 2π · √(a³ / μ),   μ = G(M + m)

Jadi T²/a³ = 4π²/μ adalah sama untuk setiap orbit di sekitar satu benda pusat, tetapi berbeda untuk badan yang berbeda. Ganti badan pusat kotak pasir ke Bumi dan konstanta menjadi sekitar 9,9 × 10⁻⁵ s² km⁻³ alih-alih 1 yr² au⁻³. M dalam μ adalah mengapa versi Kepler sedikit berbeda untuk Yupiter, yang massanya sekitar 0,1% dari Matahari.

Hukum kedua adalah konservasi momentum sudut. Kecepatan areal adalah dA/dt = h/2, di mana h = r²·dν/dt adalah momentum sudut spesifik, konstan untuk gaya pusat apapun. Di periapsis dan apoapsis kecepatan tegak lurus dengan jari-jari, sehingga r_p·v_p = r_a·v_a: rasio kecepatan sama dengan rasio jarak terbalik. Untuk Halley, r_a/r_p = (1 + e)/(1 − e) ≈ 60, sehingga bergerak sekitar 60 kali lebih cepat pada perihelion daripada pada aphelion.

Untuk menempatkan sebuah benda pada orbitnya pada waktu tertentu Anda memerlukan anomali rata-rata M = n(t − t_p), dengan pergerakan rata-rata n = 2π/T, dan kemudian persamaan Kepler, M = E − e sin E. Ia tidak memiliki solusi bentuk tertutup; alat-alat di situs ini menyelesaikannya dengan iterasi Newton, yang konvergen dalam beberapa langkah bahkan untuk e Halley = 0.967.