Kepler's laws

Sekitar tahun 1600, Johannes Kepler menghabiskan bertahun-tahun cuba untuk membuat planet bergerak dalam lingkaran sempurna. Pengamatan Mars menolak untuk sesuai. Apa yang dia jumpa adalah tiga peraturan yang masih memandu setiap pesawat angkasa kita luncurkan.

Nombor-nombor itu tidak sesuai dengan bulatan. Jadi Kepler mengubah lingkaran.

Lihat

Sekitar tahun 1600, Johannes Kepler bekerja dengan pengamatan yang sangat tepat dari Mars yang dibuat oleh Tycho Brahe. Semua orang menganggap planet bergerak dalam bulatan sempurna. Nombor-nombor itu tidak sesuai. Selepas bertahun-tahun bekerja, Kepler menemui tiga peraturan yang sesuai.

1. Orbit adalah elips (bulatan yang diperpanjang), dengan Matahari sedikit di luar pusat pada titik yang dipanggil fokus.
2. Sebuah planet mempercepatkan di dekat Matahari dan melambat jauh darinya. Lukis garisan dari Matahari ke planet: ia menyapu kawasan yang sama dalam masa yang sama.
3. Orbit yang lebih besar mengambil masa yang lebih lama. Bukan hanya lebih lama kerana laluan adalah lebih panjang, tetapi tidak proporsional lebih panjang.

Di kotak pasir di atas, Komet Halley telah dimuatkan. Lihat ia meluncur di sekeliling matahari dan kemudian merangkak melalui bahagian luar orbitnya. Kepingan berwarna di sapu dalam masa yang sama: tipis dan panjang jauh, pendek dan lebar dekat. Kawasan yang sama, masa yang sama. Itu adalah undang-undang kedua dalam tindakan.

Faham

Elips dinyatakan oleh dua nombor:

• Paksi separuh-major a: separuh lebar terpanjang. Ia menentukan saiz.
• The e: bagaimana ianya dipanjangkan. 0 adalah bulatan; dekat dengan 1 adalah sangat panjang dan nipis.

Titik terdekat kepada Matahari ialah periapsis (perihelion untuk Matahari), pada jarak a( 1 − e). Titik terjauh adalah apoapsis (aphelion), pada a(1 + e).

Objek	a (au)	e
Bumi	1.000	0.017
Marikh	1.524	0.093
Komet Halley	17.9	0.967

Hukum ketiga. Untuk segala-galanya mengorbit Matahari, kuadrat tempoh adalah sepadan dengan kiub paksi semi-major. Dalam tahun dan au:

T² = a³

Jupiter: a = 5.20 au, jadi T = 5.20^1.5 = 11.9 tahun. Halley: a = 17.9 au memberi T = 75.9 tahun, dekat dengan pulangan 75 hingga 76 tahunnya yang terkenal.

Kotak pasir menunjukkan T²/a³ dalam tahun² per au³. Ubah orbit sekeliling Matahari sebanyak yang anda mahu: ia tetap 1.

Master

Newton telah mencipta tiga undang-undang ini dari hukum graviti. Hukum ketiga dalam bentuk penuh adalah:

T = 2π · √(a³ / μ),   μ = G(M + m)

Jadi T²/a³ = 4π²/μ adalah sama untuk setiap orbit di sekeliling satu badan pusat, tetapi berbeza untuk badan yang berbeza. Tukar badan pusat kotak pasir ke Bumi dan tetapan menjadi sekitar 9.9 × 10⁻⁵ s² km⁻³ bukan 1 yr² au⁻³. M dalam μ adalah sebab versi Kepler sedikit berbeza untuk Jupiter, yang massanya kira-kira 0.1% daripada Matahari.

Hukum kedua ialah konservasi momentum sudut. Kelajuan areal adalah dA/dt = h/2, di mana h = r²·dν/dt ialah momentum sudut spesifik, tetap untuk sebarang daya pusat. Pada periapsis dan apoapsis kelajuan tegak lurus kepada jejari, jadi r_p·v_p = r_a·v_a: nisbah kelajuan sama dengan nisbah jarak terbalik. Untuk Halley, r_a/r_p = (1 + e)/(1 − e) ≈ 60, jadi ia bergerak kira-kira 60 kali lebih cepat pada perihelion daripada pada aphelion.

Untuk meletakkan objek pada orbitnya pada masa yang diberikan anda perlukan anomali purata M = n(t − t_p), dengan pergerakan purata n = 2π/T, dan kemudian persamaan Kepler, M = E − e sin E. Ia tidak mempunyai penyelesaian bentuk tertutup; alat di laman ini menyelesaikannya dengan iterasi Newton, yang berkonvergen dalam beberapa langkah walaupun untuk e Halley = 0.967.