Lalànan'i Kepler

Tamin’ny taona 1600, Johannes Kepler dia nametraka ny fototry ny astronomia tamin’ny fijerena ny planeta. Tsy nety ny nifanaraka tamin’ny fijerena an’i Marsa. Ny zavatra hitany kosa dia lalàna telo izay mbola mitarika ny sambo rehetra alefantsika any an-danitra.

Tsy nety niditra tao anatin’ny faribolana ireo isa. Ka nanova ny faribolana i Kepler.

Jereo

Tamin’ny taona 1600, i Johannes Kepler dia niasa tamin’ireo taona maro nijerena ny Marsa nataon’i Tycho Brahe. Ny olona rehetra dia nanantena fa ny planeta mivezivezy amin’ny tsipika feno. Tsy nety ny isa. Taorian’ny taona maro niasa, nahita lalàna telo izay mifanaraka i Kepler.

1. Ny elips (tsipika mitsangana) no ivon’ny orbita, ary ny masoandro dia tsy eo afovoany amin’ny toerana antsoina hoe focus.
2. Mitombo haingana eo akaikin’ny masoandro ny planeta iray ary mihena lavitra azy. Sarohy tsipika avy amin’ny masoandro mankany amin’ny planeta: manapaka faritra mitovy amin’ny fotoana mitovy izy io.
3. Mila fotoana lava kokoa ny orbita lehibe. Tsy maharitra fotsiny satria lava ny làlana, fa lava be tsy mifanaraka amin’ny tokony ho izy.

Ao amin’ny boaty fasika eo ambony, napetraka ny Halley’s Comet. Jereo ny fihodinana manodidina ny Masoandro ary avy eo mikoriana mankany amin’ny faritra ivelany amin’ny lalany. Ireo takelaka miloko rehetra dia voafafa mandritra ny fotoana mitovy: madinika sy lava any lavitra, fohy sy midadasika ao akaiky. Toerana mitovy, fotoana mitovy. Izany no lalàna faharoa mihatra.

Fantatray

Ny ellipse dia voalaza amin’ny alalan’ny isa roa:

• Ny semi-major axis a: antsasaky ny sakany lava indrindra. Mametraka ny habeny izy io.
• Ny e dia ny fihenan’ny halavirana. Ny 0 dia faribolana; ny manakaiky ny 1 dia lava sy malefaka.

The closest point to the Sun is the periapsis (perihelion for the Sun), at distance a(1 − e). Ny toerana lavitra indrindra dia ny apoapsis Ny faritr’ora dia GMT+1.

Zavatra	a (na)	e
Earth	1.000	0.017
Marsa	1.524	0.093
Halley’s Comet	17.9	0.967

Lalàna fahatelo. Ny fizaran’ny fotoana amin’ny haavo dia mitovy amin’ny fizarazaran’ny halaviran’ny masoandro amin’ny lanitra. Tamin’ny taona sy au:

T² = a³

Jupiter: a = 5.20 au, so T = 5.20^1.5 = 11.9 years. Halley: a = 17.9 au gives T = 75.9 years, close to its famous 75 to 76-year return.

The sandbox shows T²/a³ in years² per au³. Ovay araka izay tianao ny lalan’ny masoandro: mijanona ho 1 izy.

Mpanatanteraka

Ny lalàna telo rehetra dia avy amin’ny lalànan’i Newton momba ny fihenan-danja. Ny lalàna fahatelo amin’ny endriny feno dia:

T = 2π · √(a³ / μ),   μ = G(M + m)

So T²/a³ = 4π²/μ is the same for every orbit around one central body, but different for different bodies. Switch the sandbox’s central body to Earth and the constant becomes about 9.9 × 10⁻⁵ s² km⁻³ instead of 1 yr² au⁻³. The m in μ is why Kepler’s version is slightly off for Jupiter, whose mass is about 0.1% of the Sun’s.

Ny lalàna faharoa dia ny fiarovana ny angovo. Ny hafainganam-pandehan’ny faritra dia dA/dt = h/2, izay h = r²·dν/dt ny momentum angovo manokana, tsy miova ho an’ny hery afovoany. Ny fitambarana ny toetra roa dia miteraka ny fihetseham-po sy ny fihetseham-po, ary ny fihetseham-po dia miteraka ny fihetseham-po. For Halley, r_a/r_p = (1 + e)/(1 − e) ≈ 60, so it moves about 60 times faster at perihelion than at aphelion.

Raha ny toetra ara-batana dia tsy azo atao ny mametraka ny zavatra ao amin’ny orbita amin’ny fotoana iray, dia mila ny antonony diso M = n ( t − t_p), miaraka amin’ny salan’isa ny hetsika n = 2π / T, ary avy eo ny fifandanjan’i Kepler, M = E − e sin E. It has no closed-form solution; the tools on this site solve it by Newton iteration, which converges in a few steps even for Halley’s e = 0.967.