Les lois de Kepler

Vers 1600, Johannes Kepler a passé des années à essayer de faire se déplacer les planètes dans des cercles parfaits. Les observations de Mars refusaient d’être prises en compte. Ce qu’il a trouvé à la place sont trois règles qui guident encore chaque vaisseau spatial que nous lançons.

Les chiffres refusaient de tenir dans les cercles. Kepler a donc changé les cercles.

Regardez.

Vers 1600, Johannes Kepler a travaillé avec des années d’observations très précises de Mars faites par Tycho Brahe. Tout le monde supposait que les planètes se déplaçaient en cercles parfaits. Les chiffres refusaient de tenir. Après des années de travail, Kepler a trouvé trois règles qui correspondent.

1. Les orbites sont des ellipses (des cercles étirés), avec le Soleil un peu décentré à un point appelé Focus.
2. Une planète accélère près du Soleil et ralentit loin de lui. Tracez une ligne entre le Soleil et la planète : elle balaye des zones égales en temps égaux.
3. Les orbites plus grandes prennent beaucoup plus de temps. Pas seulement plus longtemps parce que le chemin est plus long, mais disproportionnellement plus long.

Dans le sandbox ci-dessus, la comète de Halley est chargée. Regardez-la tourner autour du Soleil puis ramper dans la partie externe de son orbite. Les tranches colorées sont toutes balayées dans le même temps : fines et longues au loin, courtes et larges de près. Même zone, même temps. C’est la deuxième loi en action.

Comprendre

Une ellipse est décrite par deux nombres:

• Le demi-grand axe a: moitié de la largeur la plus longue. Il définit la taille.
• The excentricité e: à quel point elle est étirée. 0 est un cercle; près de 1 est très long et mince.

Le point le plus proche du Soleil est le périapsis (périhélie pour le Soleil), à la distance a(1 − e). Le point le plus éloigné est apoapsis (aphélie), à a(1 + e).

Objet	a (au)	e
Terre	1.000	0.017
Mars	1.524	0.093
La comète de Halley	17.9	0.967

Troisième loi. Pour tout ce qui tourne autour du Soleil, le carré de la période est proportionnel au cube du semi-grand axe. En années et au:

T² = a³

Jupiter: a = 5.20 au, donc T = 5.20^1.5 = 11.9 ans. Halley: a = 17,9 au donne T = 75,9 ans, proche de son fameux retour de 75 à 76 ans.

Le bac à sable affiche T²/a³ en années² par au³. Changez l’orbite autour du Soleil autant que vous le souhaitez: elle reste 1.

Master

Newton a dérivé les trois lois de sa loi de la gravité. La troisième loi sous sa forme complète est:

T = 2π · √(a³ / μ),   μ = G(M + m)

Ainsi T²/a³ = 4π²/μ est le même pour chaque orbite autour d’un corps central, mais différent pour les différents corps. Si l’on tourne le corps central du bac à sable vers la Terre, la constante devient d’environ 9,9 × 10⁻⁵ s² km⁻³ au lieu de 1 yr² au⁻³. Le m dans μ explique pourquoi la version de Kepler est légèrement décalée pour Jupiter, dont la masse est d’environ 0,1% de celle du Soleil.

La deuxième loi est la conservation de l’impulsion angulaire. La vitesse d’aire est dA/dt = h/2, où h = r²·dν/dt est le moment angulaire spécifique, constant pour toute force centrale. Au périapsis et à l’apoapsis, la vitesse est perpendiculaire au rayon, donc r_p·v_p = r_a·v_a: le rapport de vitesse est égal au rapport inverse de distance. Pour Halley, r_a/r_p = (1 + e)/(1 − e) ≈ 60, donc il se déplace environ 60 fois plus vite au périhélie qu’à l’aphélie.

Pour placer un corps sur son orbite à un moment donné, vous avez besoin de l’anomalie moyenne M = n(t − t_p), avec un mouvement moyen n = 2π/T, puis de l’équation de Kepler, M = E − e sin E. Il n’a pas de solution de forme fermée; les outils sur ce site le résolvent par itération newtonienne, qui converge en quelques étapes même pour e = 0.967 de Halley.