Keplerovo pravidlo

Kolem roku 1600 strávil Johannes Kepler roky snahou přimět planety, aby se pohybovaly v dokonalých kruzích. Pozorování Marsu se odmítlo hodit. Místo toho našel tři pravidla, která stále řídí každou vesmírnou loď, kterou vypustíme.

Čísla se odmítala vejít do kruhů. Takže Kepler změnil kruhy.

Podívejte se.

Kolem roku 1600 Johannes Kepler pracoval s roky velmi přesných pozorování Marsu, které provedl Tycho Brahe. Všichni předpokládali, že planety se pohybují v dokonalých kruzích. Čísla se odmítala vejít. Po letech práce našel Kepler tři pravidla, která se hodí.

1. Oběžné dráhy jsou elipsy (natažené kruhy), se Sluncem trochu mimo střed v bodě zvaném zaostření.
2. Planeta zrychluje v blízkosti Slunce a zpomaluje daleko od něj. Nakreslete přímku od Slunce k planetě: za stejnou dobu se pohybuje po stejné ploše.
3. Větší oběžné dráhy trvají mnohem déle. Není to jen proto, že cesta je delší, ale neúměrně delší.

V pískovišti výše je načtena Halleyho kometa. Sledujte, jak se pohybuje kolem Slunce a poté prochází vnější částí své dráhy. Barevné plátky jsou všechny zaměřeny ve stejném čase: tenké a dlouhé daleko, krátké a široké blízko. Stejná oblast, stejný čas. To je druhý zákon v akci.

Pochopte to.

Elipsa je popsána dvěma čísly:

• Velká poloosa a: polovina nejdelší šířky. Nastavuje velikost.
• Excentricita e: jak je natažená. 0 je kruh; blízko 1 je velmi dlouhý a tenký.

Nejbližší bod ke Slunci je na obloze v oblasti Periapsis (perihélium pro Slunce), ve vzdálenosti a(1 − e). Nejvzdálenější bod je Apoapse (aphelion), na a(1 + e).

Objekt	a	e
Země	1.000	0.017
Mars	1.524	0.093
Halleyova kometa	17.9	0.967

Třetí zákon. Pro všechno, co obíhá kolem Slunce, je druhá mocnina periody úměrná krychli velké poloosy. V letech a au:

T² = a³

Jupiter: a = 5,20 AU, takže T = 5,20^1,5 = 11,9 let. Halley: a = 17,9 AU dává T = 75,9 let, blízko jeho slavnému návratu po 75 až 76 letech.

Pískoviště zobrazuje T²/a³ v letech² na au³. Změňte oběžnou dráhu kolem Slunce, jak se vám líbí: zůstává 1.

Mistr

Newton odvodil všechny tři zákony ze svého gravitačního zákona. Třetí zákon v plné podobě zní:

T = 2π · √(a³ / μ),   μ = G(M + m)

Takže T²/a³ = 4π²/μ je stejný pro každou oběžnou dráhu kolem jednoho centrálního tělesa, ale odlišný pro různá tělesa. Přepněte centrální těleso pískoviště na Zemi a konstanta se změní z 1 yr² au⁻³ na 9,9 × 10⁻⁵ s² km⁻³. Keplerova verze je proto mírně nesprávná pro Jupiter, jehož hmotnost je asi 0,1 % hmotnosti Slunce.

Druhým zákonem je zachování hybnosti. Plošná rychlost je dA/dt = h/2, kde h = r²·dν/dt je specifická hybnost, konstanta pro jakoukoliv centrální sílu. V periapsis a apoapsis je rychlost kolmá k poloměru, takže r_p·v_p = r_a·v_a: poměr rychlosti se rovná inverznímu poměru vzdálenosti. Pro Halleyovu kometu platí r_a/r_p = (1 + e)/(1 − e) ≈ 60, takže se pohybuje asi 60krát rychleji v perihéliu než v afeliu.

Abychom umístili těleso na jeho oběžnou dráhu v daném čase, potřebujeme střední anomálii M = n(t − t_p), se středním pohybem n = 2π/T a pak Keplerovo rovnici M = E − e sin E. Nemá žádné řešení uzavřeného tvaru; nástroje na těchto stránkách jej řeší Newtonovou iterací, která konverguje v několika krocích i pro Halleyovo e = 0,967.