Кеплердин мыйзамдары

1600-жылдардын башында Иоганн Кеплер планеталардын айланасында кыймылдап жаткандыгын далилдеп чыккан. Mars Observations (англ.) Ал эми анын ордуна үч эрежени тапты, алар азыр да ар бир космостук аппаратты башкарып турат.

Чимерлер чөйрөлөргө туура келбеди. Кеплер бул чөйрөнү өзгөрткөн.

Көрүнүш

1600-жылы Йоханнес Кеплер Тихо Браге тарабынан жасалган Марстын көп жылдык так изилдөөлөрү менен иштеди. Бардык адамдар планеталар толук айлануу менен кыймылдайт деп эсептешкен. Номерлер туура келбеди. Көп жылдар бою иштегенден кийин, Кеплер үч эрежени тапты.

1. Орбиталар эллипс (узак чоор), Күндүн борбордон бир аз четтетилген жери a деп аталат фокус.
2. Планета Күндүн жанында тездейт жана андан алысыраак ылдамдалат. Күндөн планетага чейин сызык тартыңыз: ал бирдей убакытта бирдей аянттарды ээлейт.
3. Большие орбиты занимают больше времени. Не только потому, что путь длиннее, но и несоразмерно длиннее.

Төмөндө, Галлейдин кометасы жүктөлдү. Ал эми Күндүн айланасында айланып, андан соң орбитасынын сырткы бөлүгүнөн өтүп жатканын карагыла. Түстүү бөлүктөр бирдей убакытта сүртүлөт: узун жана тар аралыкта, кыска жана кең аралыкта. Бирдей аймак, бирдей убакыт. Бул экинчи мыйзам.

_Уккандай бол

Эллипсти эки сан менен сүрөттөө:

• Большая полуось a: максимальный угол наклона половины. Бул өлчөмүн аныктайт.
• _Жаңы Эксцентриситет e: анын канчалык кеңейтилгени. 0 - бул айлана; 1ге жакыны өтө узун жана тар.

Күнгө эң жакын жайгашкан жер - периапс (Күндүн перигелийи), ал a(1 − e) аралыкта. Анткени, эң алыскы нукта (a(1 + e)) апоазис (афелион) болот.

Объект	а	жана
Жер	1.000	0.017
Март	1.524	0.093
Галлейдин кометасы	17.9	0.967

Үчүнчү мыйзам. Күндүн айланасында орбита түзгөн бардык нерселер үчүн, периоддун квадраты чоң жарым осунун кубуна пропорционалдуу. Жылдарда жана сааттарда:

Т² = a³

Юпитер: a = 5,20 а.б., ошондуктан T = 5,20^1,5 = 11,9 жыл. Галлей: a = 17,9 а.б. бергенде T = 75,9 жыл, анын белгилүү 75-76 жылдык айлануусуна жакын.

The sandbox shows T²/a³ in years² per au³. Күндүн айланасында орбитаны каалаганча өзгөртүңүз: ал 1 бойдон калат.

_Мастер

Ньютондун үч мыйзамы анын гравитациялык мыйзамынан келип чыккан. Үчүнчү мыйзамдын толук формасы:

T = 2π · √(a³ / μ),   μ = G(M + m)

Демек, T²/a³ = 4π²/μ бир борбордук дененин айланасындагы ар бир орбита үчүн бирдей, бирок ар кандай денелер үчүн ар башка. Switch the sandbox’s central body to Earth and the constant becomes about 9.9 × 10⁻⁵ s² km⁻³ instead of 1 yr² au⁻³. Мунун себеби, Кеплердин версиясы Юпитерге карата бир аз туура эмес, анын массасы Күндүн массасынын 0.1% гана түзөт.

Экинчи мыйзам - бул кыймылдын импульсун сактоо. Аэралдык ылдамдыгы dA/dt = h/2, бул жерде h = r²·dν/dt - бул конкреттүү бурчтук импульс, ар кандай борбордук күч үчүн константа. Периапс жана апоапс учурунда ылдамдыгы радиусуна перпендикуляр, ошондуктан r_p·v_p = r_a·v_a: ылдамдыктын пропорциясы аралыктын пропорциясына тете. Галлей үчүн r_a/r_p = (1 + e)/(1 − e) ≈ 60, демек ал перигелийде афелийдикиден 60 эсе тез кыймылдайт.

Орбитага бир денени коюу үчүн орточо аномалия M = n(t − t_p), орточо кыймыл n = 2π/T, андан кийин Кеплердин теңдемеси керек: M = E − e sin E. Бул маселенин жабык формадагы чечилиши жок; бул сайттагы аспаптар аны Ньютон итерациясы менен чечишет, ал Галлейдин e = 0.967 үчүн да бир нече кадамдарда чогулат.