Кеплер заңдары

1600 жылы Йоханнес Кеплер планеталардың толық айналу жолымен қозғалуын жасауға көп уақытын жұмсады. Марстың ғарышқа ұшырылған алғашқы кемесі. Оның орнына ол әлі күнге дейін біз ұшырған әрбір космос аппаратын басқаратын үш ережені тапты.

Бұл ретте, арнаулы сандық әдістер қолданылады. Кейіннен Кеплер өзінің көмегімен айналаларды өзгертті.

Көру

1600 жылы Йоханнес Кеплер Тихо Брагенің Марсты бірнеше жыл бойына нақты түрде зерттегенін ескерді. Планеталардың қозғалысы туралы барлық адамдар бір пікірде болды. Ұзындығының санына қарай бөлінеді. Көп жылдық жұмыстан кейін Кеплер үш ережені тапты, олар сәйкес келді.

1. Орбиталар эллипс (сұйық дөңгелек), Күн ортасынан сәл ауытқып, а деп аталатын нүктеде назар.
2. Планета Күнге жақын жылдамдап, одан алыс баяулайды. Күннен планетаға дейін сызық салу: ол тең уақыт ішінде тең аудандарды алып кетеді.
3. Бірақ, үлкен орбиталар ұзағырақ уақытты алады. Бұл жолы ұзақ болғандықтан емес, салыстырмалы түрде ұзағырақ уақытты алады.

Галлей кометасы — Күн жүйесіндегі ең үлкен комета. Күннің айналасында айналып, содан кейін орбитасының сыртқы бөлігін аралап өтуге болады. Қазіргі кезде бұл гүлдер тек қана Қазақстанда ғана емес, сонымен қатар Орталық Азия мен Кавказда да кеңінен таралған. Бірдей аймақ, бірдей уақыт. Бұл екінші заң.

Түсінген

Эллипсті екі санмен сипаттайды:

• Бірінші ірі орталық: ең ұзынының жартысы. Бұл өлшемді орнатады.
• Эксцентриситет e: ол қаншалықты созылған. 0 - дөңгелек; 1 - өте ұзын және тар.

Күнге ең жақын нүкте периапс (Күннің перигелийі), ол a(1 − e) қашықтықта орналасқан. Ең алыс нүкте апоазис (афелион), a(1 + e)-де.

Нысан	а (а)	және
Жер	1.000	0.017
Малимет марс туралы	1.524	0.093
Галлей кометасы	17.9	0.967

Үшінші заң. Күн айналасында айналатын барлық заттар үшін, периодтың квадраты үлкен жарты осінің кубына пропорционал. Жылдар мен айлар бойынша:

Т² = а³

Юпитер: a = 5.20 au, сондықтан T = 5.20^1.5 = 11.9 жыл. Халлей: a = 17,9 а.б., ол T = 75,9 жыл береді, оның танымал 75-76 жылдық қайтарылуына жақын.

The sandbox shows T²/a³ in years² per au³. Күннің айналасындағы орбитасын қалағаныңызша өзгертіңіз: ол 1 болып қалады.

Басшы

Ньютонның үш заңы оның гравитациялық заңынан алынған. Үшінші заңның толық нұсқасы:

T = 2π · √( a³ / μ),   μ = G( M + m)

Сондықтан T²/a³ = 4π²/μ бір орталық дененің айналасындағы барлық орбиталар үшін бірдей, бірақ әр түрлі денелер үшін әртүрлі. Switch the sandbox’s central body to Earth and the constant becomes about 9.9 × 10⁻⁵ s² km⁻³ instead of 1 yr² au⁻³. The m in μ is why Kepler’s version is slightly off for Jupiter, whose mass is about 0.1% of the Sun’s.

Екінші заң — импульстің сақталу заңы. Аумақты жылдамдық dA/dt = h/2, мұндағы h = r²·dν/dt - кез келген орталық күш үшін тұрақты, тән бұрыштық импульс. Периапистік және апоаптикалық нүктелерде жылдамдық радиусына тік бұрышты болады, сондықтан r_p·v_p = r_a·v_a: жылдамдық коэффициенті қашықтық коэффициентінің керісіншеге тең. Галлей үшін r_a/r_p = (1 + e)/(1 − e) ≈ 60, сондықтан ол перигелийде афелиден 60 есе жылдам қозғалады.

Бір денені белгілі бір уақытта орбитасына қою үшін сізге орташа аномалия M = n(t − t_p), орташа қозғалыс n = 2π/T, және Кеплер теңдеуі қажет, M = E − e sin E. Бұл шешімнің жабық түрі жоқ; бұл сайттағы құралдар оны Ньютон итерациясы арқылы шешеді, ол Галлейдің e = 0.967 үшін де бірнеше қадамда біріктіріледі.