Keplerio dėsniai

Apie 1600 m. Johannesas Kepleris praleido metus bandydamas, kad planetos judėtų tobulais ratais. Marsas nebuvo stebimas. Vietoj to jis atrado tris taisykles, kurios vis dar valdo kiekvieną mūsų paleistą erdvėlaivį.

Skaičiai atsisakė tilpti į apskritimus. Taigi Kepleris pakeitė apskritimus.

Žiūrėk.

Apie 1600 m. Johannesas Kepleris dirbo su daugeliu metų labai tikslių Tycho Brahe stebėjimų apie Marsą. Visi manė, kad planetos juda tobulais apskritimais. Skaičiai netilpo. Po metų darbo, Kepleris rado tris taisykles, kurios tinka.

1. Orbitos yra elipsės (ištempti apskritimai), su Saulės šiek tiek off-centre taške, vadinamame fokusas.
2. Planeta juda greičiau prie Saulės ir lėčiau toliau nuo jos. Nubrėžkite liniją nuo Saulės iki planetos: ji per lygius laiko tarpus išstumia vienodus plotus.
3. Didesnės orbitos užtrunka daug ilgiau. Ne tik ilgiau, nes kelias yra ilgesnis, bet ir neproporcingai ilgesnis.

Viršuje esančiame smėlio dėžėje įkelta Halejaus kometa. Stebėkite, kaip jis skrieja aplink Saulę ir tada nuskaito per išorinę orbitos dalį. Spalvoti griežinėliai yra nušluostomi per tą patį laiką: plonas ir ilgas toli, trumpas ir platus arti. Ta pati vieta, tuo pačiu metu. Tai yra antrasis dėsnis.

Supratau.

Elipsę apibūdina du skaičiai:

• Didžioji pusiau ašis a: pusė ilgiausių pločių. Jis nustato dydį.
• Ekscentricitetas e: kaip jis yra ištemptas. 0 yra apskritimas; arti 1 yra labai ilgas ir plonas.

Arčiausiai Saulės yra periapsis (Saulės perihelis), esant atstumui a(1 − e). Tolimiausias taškas yra apoapsis (aphelion), esant a(1 + e).

Objektas	a (arba)	e
Žemė	1.000	0.017
Kovas	1.524	0.093
Halejaus kometa	17.9	0.967

Trečiasis dėsnis. Visam aplink Saulę skriejančiam kūnui, jo orbitos periodo kvadratas yra proporcingas didžiosios pusės ašies kubui. Metais ir au:

T² = a³

Jupiteris: a = 5,20 av, taigi T = 5,20^1,5 = 11,9 metų. Halley: a = 17.9 au gives T = 75.9 years, close to its famous 75 to 76-year return.

Smėlio dėžė rodo T²/a³ metais² per au³. Pakeiskite orbitą aplink Saulę tiek, kiek norite: ji išlieka 1.

Pagrindinis

Niutonas išvedė visus tris dėsnius iš savo gravitacijos dėsnio. Trečiasis dėsnis pilna forma yra:

T = 2π · √(a³ / μ),   μ = G(M + m)

Todėl T²/a³ = 4π²/μ yra vienodas kiekvienai orbitai aplink centrinį kūną, bet skirtingas skirtingiems kūnams. Perkelkite smėlio dėžės centrinį kūną į Žemę ir konstanta taps apie 9,9 × 10⁻⁵ s² km⁻³ vietoj 1 yr² au⁻³. M μ yra priežastis, kodėl Keplerio versija šiek tiek skiriasi nuo Jupiterio, kurio masė yra apie 0,1 % Saulės masės.

Antrasis dėsnis – tai sukimosi momento išsaugojimas. Plotinio greičio formulė yra dA/dt = h/2, kur h = r²·dν/dt yra specifinis kampas, konstanta bet kokiai centrinei jėgai. Periapsis ir apoapsis taškuose greitis yra statmenas spinduliui, todėl r_p·v_p = r_a·v_a: greičio santykis lygus atvirkščiam atstumo santykiui. Halio kometai r_a/r_p = (1 + e)/(1 − e) ≈ 60, taigi jis juda apie 60 kartų greičiau perihelio nei afelio metu.

Norint nustatyti kūno padėtį orbitoje tam tikru laiku, reikia vidutinės anomalijos M = n(t − t_p), su vidutiniu judesiu n = 2π/T ir Keplerio lygties M = E − e sin E. Šis skaičius neturi uždaros formos sprendimo; šioje svetainėje esantys įrankiai jį išsprendžia Niutono iteracija, kuri konverguoja keliais žingsniais netgi Halio e = 0.967 atveju.