Закони Кеплера

Близько 1600 року Йоганн Кеплер провів багато років, намагаючись зробити так, щоб планети рухалися по ідеальним колам. Спостереження за Марсом не підходили. Натомість він знайшов три правила, які до сих пір керують кожним космічним кораблем, який ми запускаємо.

Числа не вписувалися в кола. Таким чином, Кеплер змінив кола.

Дивіться.

Близько 1600 року Йоганнес Кеплер працював з роками дуже точних спостережень Марса, зроблених Тихо Браге. Всі вважали, що планети рухаються по кругах. Числа не вписувалися. Після кількох років роботи Кеплер знайшов три правила, які підходять.

1. Орбіти є еліпсами (розтягнуті кола), з Сонцем трохи винесеним за центр у точці, що називається фокусом.
2. Планета прискорюється біля Сонця і сповільнюється далеко від нього. Накресліть пряму від Сонця до планети: вона розмиває рівні площі за рівний час.
3. Більші орбіти тривають набагато довше. Не тільки довше, тому що шлях довший, але й непропорційно довше.

У пісочниці вище завантажено комету Галлея. Подивіться, як він обертає Сонце і потім пересувається через зовнішню частину своєї орбіти. Кольорові скибочки переміщуються за один і той же час: тонкі та довгі далеко, короткі й широкі близько. В той же район, в тот же час. Це другий закон у дії.

Розумію

Еліпс описується двома числами:

• • Це… велика напіввісь a: половина довжини. Це визначає розмір.
• • Це… ексцентриситет e: наскільки розтягнуто. 0 — це коло; близько до 1 — дуже довге і тонке.

Найближча точка до Сонця є периапс (перигелій для Сонця), на відстані a(1 − e). Найвіддаленішою точкою є апоазис (афелій), на a(1 + e).

Об’ єкт	а (або)	і
Земля	1.000	0.017
Марс	1.524	0.093
Комета Галлея	17.9	0.967

Третій закон. Для всіх об’ єктів, що обертаються навколо Сонця, квадрат періоду пропорційний кубу великої напівосі. У роках і рік:

Т² = a³

Юпітер: a = 5,20 а.о., отже T = 5,20^1,5 = 11,9 років. Галлея: a = 17,9 а. о. дає T = 75,9 років, близько до його знаменитого повернення через 75-76 років.

Піщаний майданчик показує T²/a³ в роках² на au³. Змініть орбіту навколо Сонця, наскільки вам захочеться: вона залишиться 1.

Майстер

Ньютон отримав всі три закони від свого закону гравітації. Третій закон у повній формі:

T = 2π · √( a³ / μ),   μ = G( M + m)

Отже T²/a³ = 4π²/μ однаковий для всіх орбіт навколо одного центрального тіла, але різний для різних тіл. Перемкніть центральний блок пісочниці на Землю, і константа стане приблизно 9.9 × 10⁻⁵ s² km⁻³ замість 1 yr² au⁻³. M в μ є причиною того, чому версія Кеплера трохи відхилена для Юпітера, чия маса становить близько 0,1% від сонячної.

Другий закон - це збереження кутового моменту. Швидкість площини dA/dt = h/2, де h = r²·dν/dt є кутовим імпульсом, постійним для будь-якої центральної сили. У периапсисі і апопсисі швидкість перпендикулярна до радіусу, отже r_p·v_p = r_a·v_a: співвідношення швидкості дорівнює оберненому відношенню відстаней. Для Галлея, r_a/r_p = (1 + e)/(1 − e) ≈ 60, тому він рухається приблизно в 60 разів швидше в перигелії ніж в афелії.

Щоб розмістити тіло на його орбіті у заданий час, вам потрібна середня аномалія M = n( t − t_ p), зі середнім рухом n = 2π/ T, а потім рівняння Кеплера, M = E − e sin E. Вона не має розв’язку замкнутої форми; інструменти на цьому сайті вирішують її за допомогою ітерації Ньютона, яка збігається в декількох кроках навіть для e Галлея = 0.967.