Гравитацията на Нютон

Силата, която дърпа ябълката на земята е същата сила, която държи Луната в орбита и планетите около Слънцето. Голямата идея на Исак Нютон е, че един закон обяснява всички тях. Тук ще стреля оръдието си и да разберете защо.

Луната пада към Земята през цялото време. Просто продължава да липсва.

Вижте.

Пуснете топка и тя пада. Хвърли го настрани и пак пада, но каца по-далеч. Исак Нютон зададе прост въпрос: какво ще стане, ако го хвърлите наистина бързо?

Представете си оръдие на върха на невъзможно висока планина, над въздуха. Изстрелайте оръдие бавно и то се извива надолу и удря земята. Изстреляй го по-бързо и той ще кацне по-далеч. Тъй като Земята е кръгла, земята се изкривява под топката. При точно правилната скорост, земята се изкривява точно толкова бързо, колкото топката пада. Топката продължава да пада, но никога не се приземява. Това е в орбита.

Опитайте го с оръдието по-горе. Започнете бавно, след това вървете по-бързо:

• Твърде бавно: тя се връща (червено).
• Точно така.: тя се движи наоколо (зелено).
• Много по-бързо: избяга и никога не се връща (жълт).

Това е и причината астронавтите да се носят. Те не са извън гравитацията. Те и техните космически кораби падат около Земята заедно.

Разбирам.

Законът на Нютон за всеобщото притегляне казва, че всяка маса дърпа всяка друга маса:

F = G · M · m / r²

• F е силата, М и м са двете маси, разстоянието между техните центрове.
• G is the gravitational constant: 6.674 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻².

Две идеи са опаковани в него:

1. По-тежките неща дърпат по-силно. Удвоявайки масата, удвояваме силата.
2. Разстоянието го отслабва бързо. Удвоявайки разстоянието, силата намалява до една четвърт. Това е смисълът. Закон на обратния квадрат.

В близост до планета, ускорението на падащото тяло е g = GM / r². За Земята това дава около 9,8 m/s² на повърхността. На височината на Международната космическа станция (около 420 км), е само със 7% по-голям, така че гравитацията все още е около 88% толкова силна.

За кръгова орбита, гравитацията трябва да осигури точното теглене, необходимо за поддържане на пътя:

v_circular = √(GM / r)

Точно над земната повърхност тя е около 7,9 км/с. Faster than a rifle bullet: roughly 28,000 km/h.

Господарю.

На практика почти никога не използваме Г и М поотделно. Произведението им μ = GM, гравитационен параметър, се измерва директно и много по-точно от движението на луни и космически кораби. For Earth, μ = 398,600.4355 km³ s⁻², known to a few parts per billion, while G itself is known only to about 22 parts per million (CODATA 2018). Масата на Земята, посочена в таблиците, е μ разделена на G и наследява неопределеността на G.

Оръдието решава точно движението за задачата с две тела. Хоризонтално изстрелване от радиус със скорост дава ъглов импулс и конична орбита:

r(ν) = p / (1 + e cos ν),   p = h² / μ,   e = |p / r₀ − 1|

където ν е ъгълът от периписи. Ако е под кръговата скорост, стартовата точка е апоазисът и пътят се спуска навътре; ако също се спуска под повърхността, топката удря земята. При √(μ/r₀) орбитата е окръжност (e = 0). При √(2μ/r₀) тя става парабола (e = 1) и топката избягва.

Законът на Нютон обяснява и защо планината на инструмента е изчертана толкова абсурдно висока: в действителност въздухът би забавил всяка оръдие много преди орбиталната скорост, поради което ракетите се издигат над по-голямата част от атмосферата, преди да ускорят странично.